Kompleksitas penghitungan minor terpadat

Pertimbangkan masalah berikut.
Input: Grafik tidak berarah . Output: Grafik H yang merupakan minor G dengan kepadatan tepi tertinggi di antara semua anak di bawah umur G , yaitu, dengan rasio tertinggi | E ( H ) | / | V ( H ) | .$G=(V,E)$
$H$$G$$G$$|E(H)|/|V(H)|$

Apakah masalah ini sudah dipelajari? Apakah bisa dipecahkan dalam waktu polinomial atau NP-hard? Bagaimana jika kita mempertimbangkan kelas grafik terbatas seperti kelas dengan anak di bawah umur yang dikecualikan?

Jika kita meminta subgraf terpadat, masalahnya dapat dipecahkan dalam waktu polinomial . Jika kita menambahkan parameter tambahan dan meminta subgraph terpadat dengansimpul k , masalahnya adalah NP-complete (ini adalah pengurangan yang mudah dari k -clique).$k$$k$$k$

Oke, karena masih belum ada jawaban, biarkan saya setidaknya membuat beberapa pengamatan sederhana:

Untuk grafik treewidth terikat harus dimungkinkan untuk menemukan minor terpadat (atau bahkan minor dengan jumlah tepi dan simpul) dengan jenis program dinamis yang biasa pada dekomposisi pohon, di mana setiap keadaan program dinamis melacak jumlah tepi dan simpul pada bagian minor yang hidup dalam subtree dari dekomposisi, subset dari verteks dalam kantong dekomposisi yang berpartisipasi dalam minor, kesetaraan antar simpul dalam subset ini disebabkan oleh kontraksi minor pada keseluruhan grafik, dan penyempurnaan hubungan ekivalensi ini disebabkan oleh kontraksi di bagian anak-anak yang tinggal di subtree.

Jika demikian, akan mengikuti bahwa, ketika kepadatan di bawah tiga, harus mungkin untuk menemukan minor terpadat dalam waktu polinomial (dengan faktor konstan yang tergantung pada seberapa dekat dengan tiga kepadatannya). Sebab, grafik yang minor terpadatnya memiliki kepadatan memiliki anak-anak terlarang planar dan karenanya terikat treewidth.$\le 3-\epsilon$

$G$$k\in \mathbb{N}$$G$$k$$d$$d/2$ ) dan saya pikir bukti mereka dapat dimodifikasi untuk menunjukkan bahwa masalah menemukan minor terpadat adalah NP-lengkap juga.

$k$$k$$O(n^3)$