Apakah resolusi proposisional merupakan sistem bukti yang lengkap?

Pertanyaan ini adalah tentang logika proposisional dan semua kejadian "resolusi" harus dibaca sebagai "resolusi proposisional".

Pertanyaan ini adalah sesuatu yang sangat mendasar tetapi telah mengganggu saya untuk sementara waktu. Saya melihat orang-orang menyatakan bahwa resolusi proposisional sudah lengkap tetapi saya juga melihat orang-orang menyatakan bahwa resolusi itu tidak lengkap. Saya mengerti arti resolusi tidak lengkap. Saya juga melihat mengapa orang mungkin mengklaim itu lengkap tetapi kata "lengkap" berbeda dari cara "lengkap" digunakan ketika menggambarkan deduksi alami atau kalkulus berurutan. Bahkan kualifikasi "sanggahan lengkap" tidak membantu karena formula harus dalam CNF dan transformasi formula menjadi formula CNF yang setara atau formula CNF yang setara melalui transformasi Tseitin tidak diperhitungkan dalam sistem bukti.

Kesehatan dan Kelengkapan

Mari kita asumsikan latar logika proposisional klasik dengan hubungan antara beberapa semesta struktur dan seperangkat rumus dan gagasan klasik Tarskian tentang kebenaran dalam suatu struktur. Kami menulis ⊨ φ jika φ benar dalam semua struktur yang dipertimbangkan. Saya juga akan mengasumsikan sistem ⊢ untuk menurunkan rumus dari rumus.$\models$$\models \varphi$$\varphi$$\vdash$

Sistem adalah suara sehubungan dengan ⊨ jika setiap kali kita memiliki ⊢ φ , kita juga memiliki ⊨ φ . Sistem ⊢ adalah lengkap sehubungan dengan ⊨ jika setiap kali kita memiliki ⊨ φ , kami juga memiliki ⊢ φ .$\vdash$$\models$$\vdash \varphi$$\models \varphi$$\vdash$$\models$$\models \varphi$$\vdash \varphi$

Aturan Resolusi

Literal adalah proposisi atom atau negasinya. Klausa adalah disjungsi dari literal. Rumus dalam CNF adalah gabungan klausa. Aturan resolusi menyatakan itu

Aturan resolusi menyatakan bahwa jika konjungsi dari klausa dengan klausa ¬ p ∨ D memuaskan, klausa C ∨ D juga harus memuaskan.$C \lor p$$\neg p \lor D$$C \lor D$

Saya tidak yakin apakah aturan resolusi sendiri dapat dipahami sebagai sistem bukti karena tidak ada aturan untuk pengenalan formula. Saya berasumsi kita setidaknya memerlukan aturan hipotesis yang memungkinkan pengenalan klausa.

Ketidaklengkapan resolusi

Diketahui bahwa resolusi adalah sistem kedap suara. Artinya, jika kita dapat menurunkan klausa dari rumus F menggunakan resolusi maka ⊨ $C$$F$ . Resolusi jugaberartisanggahan lengkapjika kita memiliki ⊨ $\models F \implies C$ maka kita dapat memperoleh ⊥ dari F menggunakan resolusi.$\models F \implies \bot$$\bot$$F$

Pertimbangkan formulanya

dan ψ : = p ∨ q .$\varphi := p \land q$$\psi := p \lor q$

Dalam sistem Gentzen, LK atau menggunakan deduksi alami, saya bisa mendapatkan implikasinya sepenuhnya dalam sistem bukti. Saya tidak bisa mendapatkan implikasi ini menggunakan resolusi karena jika saya mulai dengan φ , tidak ada resolusi.$\varphi \implies \psi$$\varphi$

Saya melihat bagaimana saya dapat membuktikan validitas implikasi ini menggunakan resolusi:

1. Pertimbangkan formula $\neg (\varphi \implies \psi)$
2. Ubah formula di atas menjadi CNF baik menggunakan aturan distribusi standar atau menggunakan transformasi Tseitin
3. Turunkan dari rumus yang diubah menggunakan resolusi.$\bot$

Pendekatan ini tidak memuaskan bagi saya karena mengharuskan saya untuk melakukan langkah (1) dan (2) yang berada di luar sistem bukti resolusi. Jadi tampaknya ada pengertian yang sangat jelas di mana resolusi tidak lengkap seperti yang kita katakan bahwa deduksi alami atau kalkuli sekuens lengkap.

Pertanyaan

Dengan semua itu di atas, pertanyaan saya adalah:

1. Sistem bukti apa yang dipertimbangkan ketika membahas resolusi? Apakah ini hanya aturan resolusi? Apa aturan lainnya?
2. Tampak jelas bagi saya bahwa resolusi tidak lengkap dalam arti bahwa deduksi alami dan kalkuli berurutan lengkap. Apakah literatur menyatakan bahwa resolusi sepenuhnya terminologi penyalahgunaan hanya karena pengertian di mana resolusi lengkap lebih menarik daripada arti di mana itu tidak lengkap?
3. Apakah perbedaan dalam pengertian kelengkapan seperti yang diterapkan pada resolusi dan di tempat lain dan bagaimana mendamaikan mereka telah dibahas secara lebih mendalam dalam literatur?
4. Saya menyadari juga bahwa resolusi dapat dirumuskan dalam kalkulus berurutan dalam hal aturan cut. Apakah "benar" bukti pandangan teoretis resolusi hanya bahwa itu adalah fragmen dari kalkulus berurutan yang cukup untuk memeriksa kepuasan formula dalam CNF?

Sistem bukti apa yang dipertimbangkan ketika membahas resolusi? Apakah ini hanya aturan resolusi? Apa aturan lainnya?

Saya membahas resolusi dalam konteks "klausa", yang merupakan urutan yang hanya terdiri dari literal . Klausa klasik akan terlihat seperti Tapi kita juga bisa menuliskannya sebagai

LK yang dibatasi untuk klausa hanya memiliki empat aturan inferensi:

• identitas
• cut (resolusi proposisional)
• kontraksi (anjak proposisional)
• pelemahan

Jelas bahwa keempat aturan ini lengkap untuk mendeduksi klausa, yaitu,

$C$${\cal S}$${\cal S} \models C$${\cal S} \vdash C$

${\cal S} \vdash C$${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$$N(C) = \{\{\bar{A}\} \mid A \in C\}$$C$

${\cal S} \vdash C$${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

$C$${\cal S}$${\cal S} \models C$${\cal S} \cup N(C) \vdash \bot$

Titik mengubah masalah menjadi bukti sanggahan adalah dua kali lipat:

• $N(C)$
• Kami memiliki pegangan pada logika predikat penuh, yang rumusnya dapat diubah menjadi CNF hingga memuaskan.

Apakah "benar" bukti pandangan teoretis resolusi hanya bahwa itu adalah fragmen dari kalkulus berurutan yang cukup untuk memeriksa kepuasan formula dalam CNF?

Memang!

1)

Satu-satunya aturan non-struktural adalah resolusi (pada atom).

Namun aturan dengan sendirinya tidak memberikan sistem bukti. Lihat bagian 3.

2)

Pikirkan seperti ini: apakah kalkulus sekuel Gentzen lengkap jika kita menggunakan beberapa perangkat penghubung sebagai pengganti $\{\land, \lor, \lnot\}$? Konektivitas logis yang digunakan adalah penting untuk hasil logika seperti kelengkapan. Sehubungan dengan formula dalam bahasa itu bahwa sistem bukti dapat lengkap. PK tidak dapat berbicara tentang rumus dalam bahasa lain. Masalah Anda dengan resolusi serupa. Ya, jika kita berbicara tentang kelengkapan tentang rumus umum dengan$\{\land, \lor, \lnot\}$ penghubung maka resolusi tidak lengkap, tetapi juga tidak ada kalkulus berurutan dan deduksi alami sehubungan dengan formula yang tidak dalam bahasa mereka.

Selama ada terjemahan "bagus" dari satu bahasa ke bahasa lain, kita bisa bicara tentang kelengkapan. Yang penting pada dasarnya adalah bahwa kita dapat menerjemahkan formula dari yang satu ke yang lain dan sebaliknya secara efisien. Anda dapat memeriksa tesis Robert Reckhow di mana ia berurusan dengan masalah ikat dan menunjukkan bahwa untuk sistem Frege panjang bukti tidak berubah lebih dari polinomial sehingga baik-baik saja dalam arti untuk memilih set koneksi yang memadai yang Anda suka.

Situasi untuk resolusi serupa. Dengan mengurangi dari SAT ke 3SAT kita dapat membatasi perhatian kita pada CNF dan transformasi dapat dilakukan dengan sangat efisien.

Perhatikan bahwa resolusi tidak sendirian di sini, masalahnya juga berlaku untuk sistem bukti lainnya. Ambil contoh Bounded-Depth Frege di mana kedalaman rumus harus dibatasi oleh konstanta sehingga dengan definisi itu tidak dapat membuktikan keluarga rumus-kedalaman yang tidak terikat.

3)

Mari kita definisikan apa yang menjadi lengkapnya sistem bukti proposisi. Oleh Cook-Reckhow, sistem bukti proposisional$P$ adalah hubungan biner $\vdash_P$ memenuhi ketentuan berikut:

• Efisiensi: $\vdash_P$ adalah waktu polinomial decidable, yaitu diberi string $\varphi$ (rumus) dan string $\pi$ (bukti), kita dapat memutuskan apakah $\pi$ adalah $P$-tahan dari $\varphi$ dalam polinomial-waktu.

• Kesehatan: jika ada a $P$-tahan untuk $\varphi$, kemudian $\varphi$ adalah benar.

• Kelengkapan: jika $\varphi$ benar, maka ada a $P$-tahan untuk $\varphi$.

Definisi ini sangat umum dan tidak berbicara tentang struktur buktinya sama sekali. Apa pun yang memenuhi persyaratan ini adalah sistem bukti proposisional.

Kelas formula mana yang harus kita pertimbangkan dalam item ini? Berbagai kelas formula telah dipertimbangkan dan perlakuan pertama dari masalah yang saya tahu adalah tesis Robert Reckhow di mana ia menunjukkan bahwa selama orang memperhatikan sistem Frege, tidak masalah set koneksi mana yang memadai yang digunakan, semuanya adalah setara.

Mengenai resolusi, jika seseorang benar-benar ingin memiliki kelengkapan tentang semua rumus dan bukan hanya CNF, seseorang dapat menggabungkan terjemahan waktu polinomial tetap dari rumus arbitrer ke CNF ke dalam sistem bukti tanpa masalah karena terjemahannya dapat dihitung waktu polinomial.

Bagaimanapun, sistem bukti resolusi bekerja sebagai berikut: memeriksa apakah $\pi$ adalah derivasi dari $\bot$ menggunakan aturan resolusi dari set klausa yang diperoleh dari terjemahan $\lnot \varphi$untuk klausa. Ini adalah sistem bukti proposisi yang disebut orang sebagai sistem bukti proposisi resolusi.

4)

Resolusi baik-baik saja, tetapi kita juga bisa menganggapnya dengan cara yang Anda sebutkan, yaitu kita tentu saja dapat menganggapnya sebagai aturan potong ketika rumus potong adalah atom positif dengan memindahkan atom negatif ke anteseden dan menjaga yang positif di succedent:

Perhatikan bahwa apa yang mendefinisikan kekuatan sistem bukti proposisional dalam subsistem Frege (dan bahkan dalam subsistem, sistem bukti proposisional serupa yang lebih kuat seperti logika proposisional terkuantifikasi $G$) terutama kelas formula yang bisa dipotong. Saya pikir kita bisa menggunakan PK Gentzen dan hanya membatasi aturan pemotongan untuk diterapkan pada formula pemotongan seperti itu dan sistem bukti yang dihasilkan tidak akan lebih kuat daripada resolusi dalam membuktikan CNF. Setiap bukti CNF (ditulis dalam bentuk sekuens dengan atom positif) hanya dapat memiliki sekuens yang sama, yaitu formula yang lebih rumit tidak ada gunanya membuktikan CNF (perhatikan bahwa potongan adalah satu-satunya aturan yang dapat menghapus formula dari sekuens).

ps: Jawaban saya terutama dari perspektif teori kompleksitas bukti. Anda mungkin ingin memeriksa perspektif lain seperti teori bukti struktural .

Referensi:

• Robert A. Reckhow, " Tentang Panjangnya Bukti dalam Proposisional Calculus ", 1976.