Pertimbangkan rangkaian yang mengambil sebagai input angka dalam , dan memiliki gerbang yang terdiri dari fungsi , , , dan . Output dari rangkaian kemudian juga angka dalam .
Adakah yang tahu kalau model ini, atau model yang berkaitan erat, telah dipelajari?
Secara khusus, saya mencoba untuk memecahkan masalah kepuasan untuk sirkuit ini, yaitu menghitung nilai maksimum yang dapat dicapai oleh sirkuit ini (itu memang mencapai maksimum, karena itu merupakan fungsi kontinu dalam domain kompak).
Catatan: studi saya tentang model ini adalah melalui logika temporal tertimbang, sehingga setiap model yang berhubungan dengan yang terakhir mungkin juga berguna.
arithmetic-circuits
Shaull
sumber
sumber
Jawaban:
Masalah kepuasan untuk sirkuit ini (yaitu, diberi sirkuit dan , memutuskan apakah ada input sehingga ) berada di NP, dan karenanya NP-diisi oleh Komentar Neal Young dan jawaban Peter Shor.C u∈[0,1] x C(x)≥u
Kita dapat membangun pengurangan masalah yang tidak ditentukan untuk pemrograman linear dengan cara berikut. Biarkan menjadi semua simpul yang merupakan gerbang min atau maks (di sini , di mana adalah ukuran sirkuit), dan biarkan dan menjadi simpul input gerbang . Untuk setiap , pilih salah satu dari dua batasan tambahan atau (ada kemungkinan pilihan secara total). Ketika pilihan seperti itu diperbaiki, kita dapat menyederhanakan sirkuit dengan mengganti setiap dengan atau{ai:i<m} C m≤n n bi ci ai i<m bi≤ci ci≤bi 2m ai bi ci sebagaimana layaknya, dan sirkuit yang dihasilkan dapat dijelaskan oleh sistem persamaan linear yang variabel-variabelnya adalah variabel input asli dari sirkuit, dan variabel tambahan yang sesuai dengan simpul-simpul sirkuit.n
Kami juga menyertakan ketidaksetaraan yang menyatakan bahwa kendala ekstra puas, ketidaksetaraan berlari variabel input asli untuk , dan ketimpangan yang menyatakan bahwa output node memiliki nilai . Maka ini adalah program linier ukuran tergantung pada pilihan kendala tambahan, dan sirkuit mencapai nilai iff jika ada pilihan kendala sehingga program linier terkait memiliki solusi. Karena pemrograman linear dalam P, ini menunjukkan bahwa masalahnya ada di NP.m [0,1] ≥u O(n) ≥u
Perhatikan juga bahwa nilai optimal dari program linier diperoleh pada titik puncak polytope. Ini berarti bahwa penyebut dari solusi optimal dapat dinyatakan sebagai penentu matriks kuadrat dimensi yang entri-entrinya adalah bilangan bulat ukuran konstan, dan hanya ada entri bukan nol di setiap baris, dan dengan demikian itu dibatasi oleh .O(n) O(1) 2O(n)
Pengurangan semacam ini sering berguna untuk memberikan batas atas pada kompleksitas kepuasan dalam logika fuzzy proposisional (seperti logika Łukasiewicz) dan sistem terkait. (Faktanya, masalah awal adalah varian minor dari kepuasan dalam Łukasiewicz, yang akan sesuai dengan sirkuit dengan alih-alih ) Tinjauan umum hasil terkait dapat ditemukan dalam Bab X dari Buku Pegangan Matematika Fuzzy Logic, Vol. IImin(1,x+y) (x+y)/2
sumber
Masalah ini NP-hard.
Anda bisa mendapatkan 3-SAT dengan gerbang min ( x , y ), maks ( x, y ) dan 1− x .
Yang kami inginkan adalah mengurangi masalah 3-SAT ke sirkuit yang Anda bisa dapatkan 1 jika semua variabel memuaskan, dan Anda hanya bisa mencapai sesuatu yang benar-benar kurang dari 1 jika tidak.
Kami dapat memaksa semua variabel menjadi 0 atau 1 dengan mengambil minimum banyak ekspresi, dan membuat ekspresi ini termasuk maks ( x , 1− x ).
Sekarang untuk setiap klausa dalam masalah 3-SAT x ∨ y ∨ z , kami menempatkan ekspresi max ( x , y , z ) dalam minimum.
Saya tidak tahu apa nilai optimal untuk masalah 3-SAT yang tidak memuaskan, tetapi akan benar-benar kurang dari 1.
sumber
Tidak persis apa yang Anda minta, tetapi konteks di mana sirkuit serupa muncul.
Jika Anda menghapus gerbang (yang bahkan tidak disebutkan dalam judul!) Maka apa yang Anda dapatkan adalah rangkaian aritmatika monoton. Sirkuit monoton klasik batas bawah Razborov telah diperluas ke sirkuit aritmatika monoton (dengan hasil yang sama) oleh Pavel Pudlák, Batas bawah untuk resolusi dan memotong bukti pesawat .1−x
sumber