Combinators untuk Fungsi Rekursif Primitif

Sudah diketahui bahwa kombinator S dan K Turing Lengkap. Adakah kombinator yang cukup untuk menghasilkan (hanya) fungsi rekursif primitif?

Ya, tetapi Anda harus mempertimbangkan kombinator yang diketik. Artinya, Anda perlu memberi dan K skema jenis berikut: K : A → B → A S : ( A → B → C ) → ( A → B ) → ( A → C $S$$K$

$$\begin{array}{lcl} K & : & A \to B \to A \\ S & : & (A \to B \to C) \to (A \to B) \to (A \to C) \end{array}$$ mana , dan C adalah meta-variabel yang dapat dipakai untuk semua jenis beton pada setiap penggunaan.$A, B$$C$

Kemudian, Anda ingin menambahkan tipe dari bilangan asli ke bahasa tipe, dan menambahkan kombinator berikut: z : N s u c c : N → N i t e r : N → ( N → N ) → N → $\mathbb{N}$

$$\begin{array}{lcl} z & : & \mathbb{N} \\ succ & : & \mathbb{N} \to \mathbb{N} \\ iter & : & \mathbb{N} \to (\mathbb{N} \to \mathbb{N}) \to \mathbb{N} \to \mathbb{N} \end{array}$$

Aturan kesetaraan untuk penambahan adalah:

$$\begin{array}{lcl} iter\;i\;f\;z & = & i \\ iter\;i\;f\;(succ\;e) & = & f(iter\;i\;f\;e) \end{array}$$

$$\begin{array}{lcl} iter & : & A \to (A \to A) \to \mathbb{N} \to A \end{array}$$ $iter$

$\mathit{iter}$

$$\begin{array}{lcl} pred' & = & \lambda k.\;iter \;(z, z) \; (\lambda (n, n').\; (succ\;n, n))\;k\\ pred & = & \lambda k.\;snd(pred'\;k) \end{array}$$

$\mathbb{N} \simeq \mathbb{N} \times \mathbb{N}$