Apakah norma jejak perbedaan dua matriks kerapatan menjadi satu menyiratkan dua matriks kerapatan ini dapat secara bersamaan dapat didiagonalisasi?

Saya yakin jawaban untuk pertanyaan ini sudah diketahui umum; tapi, sayangnya, saya tidak tahu.

Dalam komputasi kuantum, kita tahu bahwa keadaan campuran diwakili oleh matriks kepadatan. Dan norma jejak perbedaan dua matriks densitas mencirikan pembedaan dari dua keadaan campuran yang sesuai. Di sini, definisi norma jejak adalah jumlah dari semua nilai eigen dari matriks kerapatan, dengan faktor multiplikasi ekstra 1/2 (sesuai dengan perbedaan statistik dua distribusi). Telah diketahui secara umum bahwa, ketika perbedaan dari dua matriks kerapatan adalah satu, maka dua keadaan campuran yang sesuai sepenuhnya dapat dibedakan, sedangkan ketika perbedaannya adalah nol, kedua keadaan campuran tersebut sama sekali tidak dapat dibedakan.

Pertanyaan saya adalah, apakah norma jejak perbedaan dua matriks kerapatan menjadi satu menyiratkan dua matriks kerapatan ini dapat secara bersamaan dapat didiagonalisasi? Jika ini masalahnya, maka melakukan pengukuran optimal untuk membedakan kedua kondisi campuran ini akan berperilaku seperti membedakan dua distribusi pada domain yang sama dengan dukungan terpisah .

quantum-computing quantum-information Jeremy Yan
sumber

Bisakah Anda mendefinisikan apa itu matriks kepadatan? apakah itu hanya matriks pasti positif?

Suresh Venkat

@ Suresh: Matriks kerapatan adalah matriks semidefinit positif hermitian yang jejaknya sama dengan 1.

Tsuyoshi Ito

Jawaban atas pertanyaannya adalah ya, karena jarak jejak 1 menyiratkan bahwa dua matriks kepadatan memiliki dukungan ortogonal.

Tsuyoshi Ito

@ Tsuyoshi: Mungkin Anda harus menulis komentar itu sebagai jawaban?

Robin Kothari

@Robin: Tentu, sudah selesai.

Tsuyoshi Ito

Jawaban:

Ini adalah salah satu cara untuk membuktikan fakta yang Anda minati.

Misalkan dan adalah matriks densitas. Seperti setiap matriks Hermitian lainnya, dimungkinkan untuk menyatakan perbedaan sebagai untuk dan menjadi semidefinit positif dan memiliki gambar ortogonal. (Kadang-kadang ini disebut dekomposisi Jordan-Hahn; ini unik dan mudah diperoleh dari dekomposisi spektral ) Perhatikan bahwa fakta bahwa $\rho_0$ $\rho_1$ $\rho_0-\rho_1$

ρ_{0} - ρ_{1} = P_{0} - P_{1}

$\rho_0-\rho_1 = P_0-P_1$

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

ρ_{0} - ρ_{1}

$\rho_0-\rho_1$

dan

memiliki gambar ortogonal yang menyiratkan bahwa mereka secara bersamaan dapat didiagonalisasi, yang saya tafsirkan adalah properti yang Anda minati.

P_{0}

$P_0$

P_{1}

$P_1$

$\rho_0-\rho_1$

‖ ρ_{0} - ρ_{1} ‖_{tr} = \frac{1}{2} Tr (P_{0}) + \frac{1}{2} Tr (P_{1}) .

$\|\rho_0-\rho_1\|_{\text{tr}} = \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_0) + \frac{1}{2}\operatorname{Tr}(P_1).$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

Untuk menarik kesimpulan ini, perhatikan terlebih dahulu bahwa dan , jadi . Selanjutnya, ambil dan untuk menjadi proyeksi ortogonal ke gambar dan , masing-masing. Kami memiliki jadi Keduanya dan $\operatorname{Tr}(P_0)-\operatorname{Tr}(P_1)=0$ $\operatorname{Tr}(P_0)+\operatorname{Tr}(P_1)=2$ $\operatorname{Tr}(P_0)=\operatorname{Tr}(P_1)=1$ $\Pi_0$ $\Pi_1$ $P_0$ $P_1$

Π_{0} (ρ_{0} - ρ_{1}) = Π_{0} (P_{0} - P_{1}) = P_{0}

$\Pi_0 (\rho_0 - \rho_1) = \Pi_0 (P_0 - P_1) = P_0$

Tr (Π_{0} ρ_{0}) - Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 1.

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0) - \operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1) = 1.$

Tr (Π_{0} ρ_{0})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_0)$

Tr (Π_{0} ρ_{1})

$\operatorname{Tr}(\Pi_0 \rho_1)$ harus terkandung dalam interval [0,1], dari mana kita menyimpulkan bahwa dan . Dari persamaan ini tidak sulit untuk menyimpulkan dan , dan oleh karena itu dengan persamaan di atas. Argumen serupa menunjukkan .

Tr (Π_{0} ρ_{0}) = 1

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_0)=1$

Tr (Π_{0} ρ_{1}) = 0

$\operatorname{Tr}(\Pi_0\rho_1) = 0$

Π_{0} ρ_{0} = ρ_{0}

$\Pi_0\rho_0=\rho_0$

Π_{0} ρ_{1} = 0

$\Pi_0\rho_1=0$

P_{0} = ρ_{0}

$P_0=\rho_0$

P_{1} = ρ_{1}

$P_1=\rho_1$

John Watrous
sumber

Terima kasih, Prof. Watrous. Sebenarnya, saya belajar semua ini jejak norma dan matriks kepadatan barang dari catatan kuliah Anda.

Jeremy Yan

Saya ingin menambahkan bahwa semua hal yang dibahas dalam posting ini dapat ditemukan dalam catatan kuliah online Profesor Watours (kuliah 3): cs.uwaterloo.ca/~watrous/quant-info

Jeremy Yan

Iya. Jika jarak jejak dari dua matriks kepadatan sama dengan 1, maka mereka memiliki dukungan ortogonal, dan oleh karena itu mereka secara bersamaan dapat didiagonalisasi.

Tsuyoshi Ito
sumber

Saya kira jawabannya adalah ya, tetapi saya tidak tahu buktinya.

Jeremy Yan

Gagasan utama dari bukti yang menetapkan dua matriks kerapatan sama sekali dapat dibedakan ketika jarak jejak adalah satu, mendiagonalisasi perbedaan kedua matriks kerapatan; tetapi bagaimana membuktikan dasar yang sama mendiagonalkan kedua matriks kepadatan itu sendiri? Mungkin dua matriks kerapatan ini tidak diagonal sehubungan dengan dasar ini, tetapi perbedaannya adalah. Adakah yang bisa memberikan ide bukti, atau memberikan referensi ke bukti? Terima kasih.

Jeremy Yan