Terinspirasi oleh pertanyaan ini dan khususnya paragraf terakhir dari jawaban Or, saya memiliki pertanyaan berikut:
Apakah Anda tahu ada aplikasi dari teori representasi kelompok simetris di TCS?
Grup simetris adalah grup dari semua permutasi dari dengan komposisi operasi grup. Representasi adalah homomorfisme dari ke grup linear umum matriks kompleks. Representasi bekerja pada dengan perkalian matriks. Representasi tak tereduksi dari adalah tindakan yang tidak meninggalkan subruang yang tepat dari invarian. Representasi tak terhingga kelompok terbatas memungkinkan seseorang untuk mendefinisikan transformasi Fourier atas kelompok non-abelian { 1 , … , n } S n S n n × n C n S n C n. Transformasi Fourier ini berbagi beberapa sifat bagus dari transformasi Fourier diskrit atas grup siklik / abelian. Sebagai contoh, konvolusi menjadi perkalian titik-titik dalam basis Fourier.
The perwakilan teori dari grup simetris indah kombinatorial. Setiap representasi tak tereduksi dari sesuai dengan partisi integer dari . Apakah struktur ini dan / atau transformasi Fourier atas grup simetris menemukan aplikasi dalam TCS? n
sumber
Jawaban:
Berikut adalah beberapa contoh lainnya.
Diaconis dan Shahshahani (1981) mempelajari berapa banyak transposisi acak diperlukan untuk menghasilkan permutasi yang hampir seragam. Mereka membuktikan ambang yang tajam dari 1/2 n log (n) +/- O (n). Menghasilkan Permutasi Acak dengan Transposisi Acak .
Kassabov (2005) membuktikan bahwa seseorang dapat membangun expander derajat terbatas pada kelompok simetris. Grup Simetris dan Grafik Expander .
Kuperberg, Lovett dan Peled (2012) membuktikan bahwa ada set permutasi kecil yang bekerja secara seragam pada k-tuple. Keberadaan probabilistik dari struktur kombinatorial yang kaku .
sumber
Pertanyaan yang sangat bagus. Saya tidak tahu jawaban lengkapnya dan ingin mengetahuinya sendiri. Namun, Anda mungkin menemukan hal-hal berikut yang menarik. Jika, alih-alih grup , kami menganggap 0-Hecke monoid , ia memiliki representasi pada kelas tertentu dari matriks bilangan bulat yang bertindak dengan tropis -plikasi ganda. Ini memiliki banyak aplikasi menarik dalam stringologi, melalui jalur terpendek banyak sumber dalam grafik mirip grid. Untuk detailnya, lihat laporan teknis saya:Sn H0(Sn) (min,+)
A. Tiskin. Perbandingan string semi-lokal: Teknik dan aplikasi algoritma. http://arxiv.org/abs/0707.3619
sumber
Inilah salah satu contoh yang saya tahu:
`` Pada dugaan 'Log-Rank' dalam Kompleksitas Komunikasi '' , R.Raz, B.Spieker,
Saya percaya bahwa ada lebih banyak lagi.
sumber
Berikut ini contoh dari komputasi kuantum:
Mereka menunjukkan bahwa kompleksitas kueri kuantum dari masalah tertentu yang disebut Penghapusan Indeks adalah menggunakan teori representasi dari kelompok simetris untuk membangun matriks musuh yang optimal untuk dihubungkan ke metode musuh kuantum.Ω(n−−√)
sumber
Knuth 3rd volume The Art of Computer Programming dikhususkan untuk mencari dan menyortir dan mencurahkan banyak untuk kombinatorik dan permutasi dan untuk korespondensi Robinson-Schensted-Knuth , yang merupakan pusat dalam teori representasi kelompok simetris.
Ada beberapa makalah oleh Ellis-Friedgut-Pilpel, dan Ellis-Friedgut-Filmus yang memecahkan masalah kombinatorial ekstrem menggunakan analisis harmonik pada . Tidak cukup TCS, tapi cukup dekat.Sn
Pada awal 90-an, Ajtai memiliki hasil yang luar biasa pada representasi modular yang dimotivasi oleh pertanyaan kompleksitas komputasi. Saya tidak ingat detailnya atau apakah itu dipublikasikan, tetapi ini layak untuk dibaca!Sn
sumber
Grup Symmetric Menentang Strong Fourier Sampling oleh Moore, Russell, Schulman
"Kami menunjukkan bahwa masalah subkelompok tersembunyi di atas kelompok simetris tidak dapat diselesaikan secara efisien dengan pengambilan sampel Fourier yang kuat ... Hasil ini berlaku untuk kasus khusus yang relevan dengan masalah Graph Isomorphism."
dengan koneksi untuk memecahkan masalah Graph Isomorphism melalui pendekatan QM
bagian 5 Teori representasi dari kelompok simetris
sumber
Lebih banyak statistik daripada ilmu komputer, tetapi masih menarik: Dalam bab 8 dalam monograf Diaconis tentang Presentasi Kelompok dalam Probabilitas dan Statistik , teknik analisis spektral untuk data yang terkait dengan grup dikembangkan. Ini memperluas analisis spektral yang lebih klasik dari data deret waktu mengatakan di mana alami adalah real atau bilangan bulat yang ditambahkan. Masuk akal untuk mengambil menjadi saat data diberikan oleh peringkat. Monograf tersebut menafsirkan koefisien Fourier dari data peringkat. Dalam hal set data diwakili olehG G G Sn f:Sn→R+ yang memetakan peringkat (diberikan oleh permutasi) ke fraksi populasi yang lebih memilih peringkat.
Juga dalam bab yang sama, analisis Fourier atas kelompok simetris dan lainnya digunakan untuk mendapatkan model dan tes ANOVA.
Perpanjangan alami ini akan menjadi teori pembelajaran statistik untuk masalah peringkat yang mendapat manfaat dari teknik teori representasi dengan cara yang mirip dengan cara belajar teori untuk klasifikasi biner di bawah distribusi seragam telah mendapat manfaat dari analisis Fourier pada kubus boolean.
sumber
Teori representasi kelompok simetris memainkan peran kunci dalam pendekatan Teori Kompleksitas Geometrik untuk menurunkan batas pada determinan atau pada perkalian matriks.
Bürgisser dan Ikenmeyer membuktikan batas bawah pada peringkat perbatasan dari perkalian matriks menggunakan teori representasi .Sn
Untuk bagaimana teori representasi berhubungan dengan batas bawah pada determinan, lihat Teori Kompleksitas Geometrik II: Menuju Penghalang Eksplisit untuk Penyuluhan antara Varietas Kelas dan Teori Kompleksitas Geometris VI: Flip via positivitySn
sumber
Tesis Phs Huang, ALASAN PROBABILISTIK DAN PEMBELAJARAN PERMUTASI: mengeksploitasi dekomposisi struktural dari kelompok simetris . aplikasi ini adalah "skenario pelacakan multi-orang yang nyata berbasis kamera."
Fourier Theoretic Probabilityistic Inference atas Permutasi oleh Huang, Guestrin, Guibas; Jurnal Penelitian Pembelajaran Mesin 10 (2009) 997-1070. lihat misal 5. Teori Representasi pada Grup Symmetric
kertas aplikasi multitracking lain. Pelacakan multi-objek dengan representasi kelompok simetris (2007) oleh Kondor, Howard, Jebara
Belajar distribusi probabilitas melalui Permutasi oleh Sarana Koefisien Fourier, Irurozki, Calvo, Lozano (Dept CS / AI). lihat bagian 2 Transformasi Fourier pada Grup Symmetric
sumber
Penerapan Teori Representasi Grup Symmetric untuk Perhitungan Polinomial Grafis oleh Grafik dan Klin
sumber
makalah yang sangat dikutip oleh Beals, 1997, STOC ini tampaknya membuktikan bahwa perhitungan Quantum dari transformasi Fourier atas kelompok simetris adalah dalam BQP yaitu waktu polinomial kuantum
sumber
contoh yang lebih tua, tetapi masih dengan penelitian terbaru / sedang berlangsung, beberapa teori ini muncul dalam matematika "shuffle sempurna" , dilihat sebagai elemen dari kelompok simetris & yang merupakan penemuan terkenal pada saat itu. [1] menyebutkan aplikasi dari shuffle sempurna untuk algoritma pemrosesan paralel dan juga koneksi ke Cooley-Tukey O (n log n) DFT. [2] lebih baru. shuffle sempurna muncul dalam pemrosesan paralel [3], desain memori, dan jaringan penyortiran.
[1] Matematika shuffle sempurna oleh Diaconis, Graham, Cantor. 1983
[2] Siklus permutasi shuffle multi -arah sempurna oleh Ellis, Fan, Shallit (2002)
[3] Pemrosesan paralel dengan pengocokan sempurna oleh Stone, 1971
[4] Jaringan Omega berdasarkan pengocokan yang sempurna
[5] Pengganti paralel dan berurutan di tempat dan pengocokan sempurna menggunakan involusi Yang et al (2012)
sumber