Entropi dari distribusi yang bising

Katakanlah kita memiliki fungsi sedemikian rupa sehingga dan adalah distribusi, yaitu, . ∀ x ∈ Z n $f:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$f∑x∈Z n 2 f(x)=

$$\forall x\in \mathbb{Z}_2^n \quad f(x) \in \left\{\frac{1}{2^n}, \frac{2}{2^n}, \ldots, \frac{2^n}{2^n} \right\},$$ $f$$\sum_{x\in \mathbb{Z}_2^n} f(x) = 1$

Entropi Shannon dari didefinisikan sebagai berikut: H ( f ) = - ∑ x ∈ Z n 2 f ( x ) log ( f ( x ) )$f$

$$H(f) = -\sum _{x \in \mathbb{Z}_2^n} f(x) \log \left( f(x) \right) .$$

Biarkan menjadi konstan. Katakanlah kita mendapatkan versi -noisy dari , yaitu, kita mendapatkan fungsi sedemikian rupa sehingga untuk setiap . Apa efek dari kebisingan pada entropi? Yaitu, dapatkah kita mengikat dengan fungsi "wajar" dari dan , seperti: atau bahkan, untuk beberapa konstanta .ϵ f ( x ) ˜ f : Z n 2 → R | ˜ f ( x ) - f ( x ) | < ϵ x ∈ Z n 2 H ( ˜ f ) ϵ H ( f ) ( 1 - ϵ ) H ( f ) < H ( ˜ f ) < ( $\epsilon$$\epsilon$$f(x)$$\tilde{f}:\mathbb{Z}_2^n \to \mathbb{R}$$|\tilde{f}(x)- f(x) | < \epsilon$$x\in \mathbb{Z}_2^n$$H(\tilde{f})$$\epsilon$$H(f)$

$$(1-\epsilon)H(f) < H(\tilde{f}) < (1+\epsilon)H(f),$$ $$(1-\epsilon^c n)^d H(f) < H(\tilde{f}) < (1+\epsilon^c n)^d H(f),$$ $c,d$

Sunting: Mencoba untuk merasakan efek kebisingan pada entropi Shannon, aditif "wajar" apa pun yang terikat pada juga akan sangat menarik.$H(\tilde{f})$

Batas seperti itu tidak mungkin. Pertimbangkan kasus di mana adalah distribusi yang seragam pada beberapa himpunan ukuran , dan mari menjadi distribusi yang dengan probabilitas menghasilkan elemen terdistribusi secara merata , dan sebaliknya menghasilkan string yang terdistribusi secara merata.$f$$S$$2^{\delta \cdot n}$$\tilde{f}$$\delta$$S$

Tidak sulit untuk melihat bahwa Anda dapat beralih dari ke Anda hanya membutuhkan noise paling banyak . Namun, sementara . Dengan demikian, Anda mendapatkan perbedaan untuk kecil sewenang-wenang untuk noise yang sangat rendah.$f$$\tilde{f}$$(1-\delta) \cdot 2^{-\delta \cdot n}$$H(f)= \delta \cdot n$$H(\tilde{f}) \approx (1 - \delta + \delta^2) \cdot n$$(1 - \delta)^2 \cdot n$$\delta$

Secara khusus, Anda dapat mengatur , dan mendapatkan noise dan perbedaan entropi .$\delta = \frac{\log(1/\varepsilon)}{n}$$\varepsilon$$\approx n - 2\log(1/\varepsilon)$