Literatur tentang pendekatan naif terhadap graf isomorfisme dengan memeriksa polinomial dari matriks kedekatan

Saya menggambarkan pendekatan pada grafik isomorfisme yang mungkin memiliki positif palsu, dan saya ingin tahu apakah ada literatur yang menunjukkan bahwa itu tidak berhasil.

Diberikan dua matriks kedekatan , metode yang diakui naif untuk memeriksa isomorfisma adalah untuk memeriksa apakah untuk setiap baris u dari G , ada baris v dari G yang merupakan permutasi dari baris u , dilambangkan dengan G [ u ] ∼ H [ v ] . Yang sedikit lebih ketat adalah pertanyaannya, adakah "isomorfisme lokal" π di mana G [ u ] ∼ H [ π ( u ) $G, H$$u$$G$$v$$G$$u$$G[u] \sim H[v]$$\pi$$G[u] \sim H[\pi(u)]$untuk semua baris. Memproduksi isomorfisme lokal dapat dilakukan dalam waktu polinomial dengan membangun matriks A dengan A [ u , v ] = ( G [ u ] ∼ H [ v ] ) ; maka G dan H adalah isomorfik lokal jika A memiliki penutup siklus, dan setiap penutup siklus adalah isomorfisme lokal.$n\times n$$A$$A[u,v] = (G[u]\sim H[v])$$G$$H$$A$

Semua grafik reguler menipu metode ini, jelas, sehingga pendekatan yang sedikit kurang naif adalah untuk menghitung kekuatan dari matriks dan memeriksa mereka untuk isomorfisma lokal, mengeksploitasi fakta bahwa Anda memiliki banyak matriks dengan mengatur A [ u , v ] = 0 ketika Anda menemukan kekuatan apa pun sehingga G k [ u ] ≁ H k [ v $G^2, H^2, G^3, H^3,\ldots$$A[u,v] = 0$$G^k[u]\not\sim H^k[v]$, dan memeriksa penutup siklus hanya di akhir. Sebuah pendekatan bahkan kurang naif adalah untuk menemukan satu set polinomial, memang satu set sirkuit aritmatika, dan pengaturan ketika kita menemukan setiap polinomial p dengan p ( G ) [ u ] ≁ p ( H ) [ v ] .$A[u,v]=0$$p$$p(G)[u]\not\sim p(H)[v]$

Bagi saya ini terlihat seperti pendekatan yang sangat naif untuk menggambarkan isomorfisme, jadi saya yakin seseorang telah menyelidikinya dan membuktikan teorema seperti

$n$$n\times n$$G, H$$\pi$$p$$p(G)$$p(H)$$p(G)\overset{\pi}{\sim}p(H)$

Pertanyaan: Apakah ada teorema seperti itu? Saya telah melihat dalam literatur dan tidak dapat menemukannya.

$k$$n$$G^1, H^1, \ldots, G^{poly(n)}, H^{poly(n)}$$p_1, \ldots ,p_k$algoritma untuk grafik isomorfisme. Jika polinomial seperti itu (atau sirkuit aritmatika) mudah ditebak, maka kami memiliki algoritma coRP . Jika selalu ada (rangkaian) rangkaian aritmatika untuk menyaksikan isomorfisme non lokal, maka ini memberikan algoritma coNP .

Perhatikan bahwa kita dapat menghindari masalah bahwa entri matriks daya tinggi tumbuh terlalu besar dengan menghitung polinomial pada bidang kecil, misalnya dengan menghitungnya dengan modulo bilangan prima kecil. Dalam algoritma coNP , prover dapat memberikan bilangan prima ini.

Ya, ada teorema seperti itu, kurang lebih. Ini pada dasarnya menyatakan bahwa prosedur Weisfeiler-Lehman k-dimensional mencakup (yaitu mendominasi) semua pendekatan kombinatorial yang dikenal untuk pengujian grafik isomorfisme. (Proposal konkret Anda harus dimasukkan dalam prosedur Weisfeiler-Lehman 2-dimensi, jika saya tidak salah.) Untuk setiap k tetap, ada kelas contoh tandingan terhadap prosedur Weisfeiler-Lehman k-dimensional yang dikenal sebagai Cai-Fürer Konstruksi -Immmerman.

Saya pertama kali mempelajari dasar-dasar prosedur Weisfeiler-Lehman dan konstruksi Cai-Fürer-Immmerman dari

http://users.cecs.anu.edu.au/~pascal/docs/thesis_pascal_schweitzer.pdf

Ada banyak lagi yang harus dipelajari tentang prosedur Weisfeiler-Lehman daripada yang dijelaskan di sana, tetapi setidaknya perawatan konstruksi Cai-Fürer-Immmerman lengkap dan cukup untuk tujuan Anda. " Prosedur Weisfeiler-Lehman ", oleh Vikraman Arvind adalah esai singkat baru-baru ini dimaksudkan sebagai undangan untuk topik tersebut.

Mungkin poin penting untuk mengambil dari jawaban saya adalah bahwa jika Anda akan menemukan metode pengujian isomorfisma murni kombinatorial (seperti yang dijelaskan dalam pertanyaan Anda), yang tidak dimasukkan (yaitu didominasi) oleh prosedur Weisfeiler-Lehman k-dimensional, maka ini akan menjadi terobosan dengan sendirinya, terlepas dari apakah metode tersebut benar-benar bermanfaat.