Trik yang digunakan dalam bukti kompleksitas eksponensial ganda dari aritmatika Presburger

Saya memposting ini di MathUnderflow tetapi tidak mendapat jawaban, jadi saya pikir saya akan mencobanya di sini,

Saya membaca kertas tua Rabin dan Fischer [akan memposting tautan bila memungkinkan] di mana antara lain, kompleksitas eksponensial ganda dari aritmatika Presburger terbukti.

Buktinya bergantung pada keberadaan formula secara informal menyatakan " x < 2 2 k x + 1 " dengan | Saya n | ∈ O ( n ) . Meskipun konstruksi formula ini tidak diberikan dalam makalah, yang mengejutkan bagi saya mengingat bahwa itu mungkin sangat tidak trivial, mengingat ikatan itu dan fakta bahwa kami hanya memiliki tambahan yang tersedia untuk kami! ¹$I_{n}(x)$$x < 2^{2^{kx+1}}$$|I_{n}| \in O(n)$

Saya kemudian mengetahui bahwa konstruksi formula ini bergantung pada "trik", yang sebelumnya ditemukan oleh Fischer, dan secara independen oleh Volker Strassen, tetapi saya belum berhasil melacak makalah yang menjelaskan trik ini secara terperinci!

Jadi, jika ada yang tahu tentang makalah yang saya bicarakan dan dapat mengarahkan saya ke arahnya atau bahkan menggambarkan triknya kepada saya ...

Posting dari blog Lipton ini berisi tautan ke kertas tersebut dan juga menyebutkan [dan memberikan kasar, sayangnya tidak cukup bagi saya, sketsa] kata trik, BTW.

¹ Saya tahu ini deskripsi yang tidak jelas. Padahal, deskripsi yang cukup terperinci akan terlalu lama untuk posting SX, jadi saya hanya berharap bahwa seseorang yang sudah tahu tentang makalah yang bersangkutan - dan dengan demikian dapat melakukan dengan sketsa singkat itu - menabrak ini dan dapat membantu saya .

Komentar Martin (dan tindak lanjut Yuval) memberikan referensi yang menjelaskan konstruksi secara rinci.

$2^{2^{c\cdot n}}$$M_n(x,y,z)$

$$M_n(x,y,z) \Leftrightarrow x\times y=z\ \wedge x< 2^{2^n}$$

$M_n$$n$

$M_{n+1}(x,y,z)$

$$M_{n}(x_1,y_1,z_1)\wedge M_{n}(x_2,y_2,z_2)\wedge M_{n}(x_3,y_3,z_3)$$

$$\forall u v w,(u=x_1\wedge v=y_1\wedge w=z_1)\vee(u=x_2\wedge v=y_2\wedge w=z_2)\vee(u=x_3\wedge v=y_3\wedge w=z_3)\Rightarrow M_n(u,v,w)$$

$n$

Ada beberapa trik lain yang terlibat, tetapi ini yang utama. Bagian dalam rekursi itu penting, tentu saja, tetapi kesamaan dengan trik Karatsuba benar-benar cukup mencolok.