Triangulasi unik dual poligon sederhana

Diberikan triangulasi (tanpa titik Steiner) dari poligon P sederhana $P$, orang dapat mempertimbangkan ganda triangulasi ini, yang didefinisikan sebagai berikut. Kami membuat simpul untuk setiap segitiga dalam triangulasi kami, dan kami menghubungkan dua simpul jika segitiga yang sesuai memiliki keunggulan. Grafik ganda dikenal sebagai pohon dengan derajat tiga maksimum.

Untuk aplikasi saya, saya tertarik pada yang berikut ini. Mengingat pohon dengan tingkat maksimum tiga, ada selalu poligon sederhana sehingga ganda setiap triangulasi (tanpa Steiner poin) dari sama dengan . Di sini, triangulasi mungkin tidak unik, tetapi saya mensyaratkan bahwa grafik ganda harus unik.P P T $T$$P$$P$$T$$P$

Ini tentu benar ketika adalah jalan, tetapi menjadi tidak jelas ketika Anda memiliki simpul tingkat tiga.$T$

Dengan pohon dengan derajat tiga maksimum, apakah selalu ada poligon sederhana sehingga dual dari setiap triangulasi (tanpa poin Steiner) sama dengan ?P P $T$$P$$P$$T$

Iya. Untuk menunjukkan ini, saya akan memberikan prosedur untuk mendapatkan hasil yang tampaknya sedikit lebih kuat *:

Mengingat pohon dengan tingkat maksimum tiga, membangun poligon sederhana , sehingga triangulasi unik dari (tanpa Steiner poin) memiliki sebagai yang ganda.P P $T$$P$$P$$T$

Mulailah dengan membuat sebuah segitiga awal , mewakili beberapa titik di dan menambahkan ke antrian . Kemudian, ulangi yang berikut sampai kosong:v 0 T v 0 Q $\Delta_0$$v_0$$T$$v_0$$Q$$Q$

• Pop elemen atas, , dari antrian.$v$
• Untuk setiap simpul bertetangga yang belum kami letakkan segitiga, pilihlah sisi dari segitiga dan titik di dalam daerah kerucut yang dihasilkan oleh garis melalui dan segmen-segmen tetangganya, sedemikian rupa sehingga segitiga tidak memotong segitiga lainnya. (Lihat gambar di bawah) Set dan menambahkan untuk .A B Δ v D A B Δ A B D Δ w ← Δ A B D w $w$$AB$$\Delta_v$$D$$AB$$\Delta ABD$$\Delta_w\leftarrow\Delta ABD$$w$$Q$

Gambar ini memberikan contoh kemungkinan poligon (kiri) untuk diberikan (kanan)$P$$T$

Untuk melihat mengapa prosedur ini bekerja, perhatikan terlebih dahulu bahwa setelah membuat segitiga baru, segmen dan menghasilkan kerucut yang memiliki wilayah kosong yang tidak bersinggungan dengan segitiga yang ada (lihat juga gambar sebelumnya), sehingga kita dapat menemukan titik yang cocok di setiap langkah dan buat poligon.A $AB$$AD$

Kedua, kita telah memilih segitiga seperti garis segmen antara tidak sepenuhnya terletak di dalam . Jika ada titik sudut dari segitiga yang sudah ditempatkan sedemikian rupa sehingga sepenuhnya dalam , maka harus terletak di dalam kerucut yang dihasilkan oleh dan . Namun, karena bagian dari kerucut ini yang tidak terletak di dalam terkandung dalam kerucut yang dihasilkan oleh segitiga yang ditempatkan sebelumnya, sepertiP Q ∉ { B , D } D Q P A D B D Δ A B D $CD$$P$$Q \notin \{B,D\}$$DQ$$P$$AD$$BD$$\Delta ABD$$Q$hanya ada jika ada titik analog untuk segitiga yang ditempatkan sebelumnya. Karena tidak ada titik seperti itu untuk segitiga pertama, ini berarti tidak ada titik untuk setiap segitiga yang kita tambahkan.

Ini berarti bahwa semua pasangan dari setiap titik sudut yang mana segmen sepenuhnya terkandung dalam sudah dalam triangulasi yang dikonstruksi, sehingga triangulasi adalah unik untuk (semua triangulasi menambahkan jumlah segmen internal yang sama )P X Y P $(X,Y)$$P$$XY$$P$$P$

Perhatikan bahwa poligon yang dibangun dalam metode ini cenderung memiliki sudut yang agak tajam. Saya menduga grafik besar sembarang membutuhkan poligon dengan sudut kecil sembarang, yang bisa menjadi masalah saat menggambar poligon ini dengan presisi terbatas.

_{*: Perbedaannya adalah, jika kita menafsirkan 'unik' sebagai isomorfisme (yang konsisten dengan keunikan triangulasi dan dual yang berbeda), kita akan baik-baik saja dengan poligon yang memiliki banyak triangulasi yang semuanya memiliki dual isomorfik. Namun, dimungkinkan untuk 'menempelkan' lebih banyak segitiga pada poligon-poligon itu untuk memastikan beberapa dual tidak lagi isomorfik.}