Ukuran sirkuit untuk “setidaknya n input benar”

Katakanlah Anda memiliki input boolean, dan Anda diberi ambang batas . Anda perlu membangun sirkuit boolean yang mengevaluasi true jika setidaknya dari input benar. Anda dapat menggunakan gerbang AND, ATAU, TIDAK, atau XOR (terbatas pada dua kipas, dengan kipas keluar secara acak). Seberapa asimtotik seberapa kecil Anda dapat membuat sirkuit ini?$m$$n$$n$

Setiap batas atas yang cukup ketat akan dihargai. Saya terus memikirkan cara untuk secara rekursif membangun sirkuit seperti itu tetapi saya tidak dapat menemukan sesuatu yang baik. Selain itu, hasil apa pun untuk dasar masuk akal lainnya dari gerbang yang diizinkan juga akan bermanfaat.

Dari S. Chaudhuri, J. Radhakrishnan. Batasan Deterministik dalam Kompleksitas Sirkuit :

Teorema 6.1 : Sebuah sirkuit menghitung dengan memiliki gerbang$T_k^n$$k \leq n^{1/3}$$\Omega(k^2(\ln n)/\ln k)$

Di mana adalah fungsi boolean yang memiliki nilai 1 iff setidaknya dari inputnya memiliki nilai 1 ( fungsi threshold ).$T_k^n$$k$

Kita bisa mendapatkan semacam batas atas dari beberapa inklusi kompleksitas.

$TC^{0}$ adalah kelas berukuran polynomially, konstan kedalaman sirkuit boolean di mana kami juga memiliki gerbang terbatas fan-in, jadi ada ukuran sirkuit yang menghitung fungsi yang Anda inginkan (satu gerbang dengan semua input menuju ke sana).$MAJORITY$$1$ $TC^{0}$$MAJ$

$NC^{1}$ adalah kelas sirkuit boolean dengan ukuran polinomial dan kedalaman (tetapi di sini kita hanya memiliki gerbang normal). Diketahui bahwa , jadi paling buruk, Anda dapat menghitung dengan sirkuit kedalaman poly-size .$O(\log n)$$TC^{0} \subseteq NC^{1}$$MAJ$$O(\log n)$

Saya menduga bahwa karena Anda hanya membutuhkan , kami dapat melakukan yang lebih baik, tetapi saya belum berhasil mendapatkan referensi yang bagus untuk ini. "Pengantar Kompleksitas Sirkuit" Vollmer seharusnya memiliki pengurangan, tetapi saya tidak memiliki salinannya. Ini juga harus merupakan pengurangan yang seragam (yaitu untuk input ukuran kita dapat secara efisien menghasilkan rangkaian yang sesuai).$MAJ$$n$

Pertanyaan ini di cstheory.SE mungkin juga memiliki sesuatu yang berguna bagi Anda di dalamnya, tetapi ini cukup teknis.

dengan fungsi ambang standar yang didefinisikan dalam jawaban , adalah fungsi simetris. thm 2.11.1 di Savage [1] memberikan sirkuit ukuran .$T_k^n$$T_k^n$$O(n)$

[1] Model Komputasi , John E Savage