Buat dua fungsi

Buat dua fungsi memuaskan:$f,g: R^+ → R^+$

1. kontinu;$f, g$
2. meningkat secara monoton;$f, g$
3. dan g ≠ O ( f ) .$f \ne O(g)$$g \ne O(f)$

Ada banyak contoh untuk fungsi tersebut. Mungkin cara termudah untuk memahami cara mendapatkan contoh seperti itu adalah dengan membuatnya secara manual.

Mari kita mulai dengan fungsi di atas bilangan asli, karena angka-angka itu dapat secara terus-menerus diselesaikan ke real.

Cara yang baik untuk memastikan bahwa dan g ≠ O ( f ) adalah bergantian antara urutan besarnya. Sebagai contoh, kita dapat mendefinisikan$f\neq O(g)$$g\neq O(f)$

$f(n)=\begin{cases} n & n \text{ is odd}\\ n^2 & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Kemudian, kita bisa memiliki berperilaku sebaliknya pada peluang dan GENAP. Namun, ini tidak bekerja untuk Anda, karena fungsi ini tidak meningkat secara monoton.$g$

Namun, pilihan agak arbitrer, dan kami hanya bisa meningkatkan besaran sehingga memiliki sifat monoton. Dengan cara ini, kita dapat menemukan:$n,n^2$

, dan g ( n ) = { n 2 n - 1 n  ganjil n 2 n n $f(n)=\begin{cases} n^{2n} & n \text{ is odd}\\ n^{2n-1} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$$g(n)=\begin{cases} n^{2n-1} & n \text{ is odd}\\ n^{2n} & n \text{ is even}\\ \end{cases}$

Jelas ini adalah fungsi monoton. Juga, , karena pada bilangan bulat ganjil, f berperilaku seperti n 2 n sementara g berperilaku seperti n 2 n - 1 = n 2 n / n = o ( n 2 n ) , dan sebaliknya pada hal yang sama.$f(n)\neq O(g(n))$$f$$n^{2n}$$g$$n^{2n-1}=n^{2n}/n=o(n^{2n})$

Sekarang yang Anda butuhkan adalah menyelesaikannya ke real (mis. Dengan menambahkan bagian-bagian linier di antara bilangan bulat, tetapi ini benar-benar tidak penting).

Juga, sekarang setelah Anda memiliki ide ini, Anda dapat menggunakan fungsi trigonometri untuk menyusun `` rumus tertutup '' untuk fungsi-fungsi tersebut, karena dan cos berosilasi, dan memuncak pada titik-titik yang berganti-ganti.$\sin$$\cos$

Ilustrasi yang baik untuk saya adalah: http://www.wolframalpha.com/input/?i=sin%28x%29%2B2x%2C+cos%28x%29%2B2x