Perlu sumber yang memiliki reputasi baik untuk formula untuk bentuk cakrawala Bumi

Apa yang saya minta

Saya menekankan bahwa saya tidak meminta susu formula --- Saya tahu susu formula, dan bagaimana cara mendapatkannya. Beberapa versi berbeda direproduksi di akhir tulisan. Bahkan, orang lain tidak hanya menurunkannya juga, tetapi juga menyajikan salah satu derivasi di sini .

Apa yang saya butuhkan adalah sumber yang dapat dipercaya untuk formula sehingga, misalnya, seseorang dapat menaruhnya di Wikipedia tanpa melanggar larangan melaporkan penelitian asli. [Orang-orang telah benar - benar mencoba ... Tetapi artikel yang relevan memiliki beberapa editor yang sangat teliti yang menghapus bagian tersebut dengan alasan penelitian asli ... dan, yah, sayangnya, editornya benar, jadi tidak ada banyak gunanya mencoba untuk melawannya.]

Alasan saya memposting di Computer Graphics stackexchange

Karena seseorang di sini mungkin telah memodelkan cara Bumi terlihat membentuk orbit, mungkin dia mungkin tahu apakah rumus ini (atau, lebih mungkin, beberapa generalisasi darinya) diterbitkan dalam beberapa buku, atau jurnal, atau proses konferensi, atau catatan kelas , dll.

Saya sudah melakukan "due googling"

Harap mengerti bahwa saya tidak meminta siapa pun untuk mencari jawaban atas nama saya. Saya sudah melakukan banyak googling, dan saya hanya memposting di sini sebagai pilihan terakhir. Harapan saya (dibuat-buat) adalah bahwa seseorang di sini hanya akan tahu referensi langsung dari kelelawar; jika tidak ... well, saya harap setidaknya Anda menikmati gambar cantik di bawah ini (jika saya mengatakannya sendiri, dengan kesadaran penuh saya sedang berbicara dengan orang-orang yang tertarik pada grafik komputer dari semua hal) sebelum Anda beralih ke yang lebih besar dan lebih baik sesuatu.

Dua sumber yang mendekati

1. DK Lynch, "Secara visual melihat kelengkungan Bumi," Applied Optics vol. 47, H39 (2008). Ini tersedia secara bebas di sini . Sayangnya, alih-alih melakukannya dengan cara yang benar (yang tidak terlalu sulit), penulis memilih untuk meretas, yang (a) saya tidak sepenuhnya mengerti, dan (b) yang tidak setuju dengan apa yang saya tahu tentang menjadi formula yang benar.

2. R. Hartley dan A. Zisserman, Multiple View Geometry in Computer Vision, edisi ke-2. (Cambridge University Press, Cambridge UK, 2004). Dalam Sec. 8.3, "Aksi kamera proyektif pada kuadrat," kita membaca :

Misalkan quadric adalah bola, maka kerucut sinar antara pusat kamera dan quadric adalah lingkaran kanan, yaitu generator kontur adalah sebuah lingkaran, dengan bidang dari lingkaran ortogonal ke garis yang menghubungkan kamera dan pusat bola. Ini bisa dilihat dari simetri rotasi geometri tentang garis ini. Gambar bola diperoleh dengan memotong kerucut dengan bidang gambar. Jelas bahwa ini adalah bagian kerucut klasik, sehingga kontur semu bola adalah kerucut.

Pada prinsipnya, ini akan persis apa yang diperlukan, jika hanya sedikit informasi yang dimasukkan --- setidaknya ekspresi untuk eksentrisitas kerucut sebagai fungsi jarak ke bola dan jari-jari bola (dalam kasus ini ketika bidang gambar tegak lurus terhadap generatrix kerucut, seperti halnya ketika kamera lubang jarum diarahkan pada suatu titik di cakrawala).

Rincian tentang rumus yang saya perlukan referensi ilmiah

Kami berasumsi bahwa Bumi berbentuk bulat sempurna, sangat halus tanpa atmosfer. Kami mengarahkan kamera lubang jarum ideal di cakrawala, dan, menggunakan proyeksi pusat langsung, menghitung bentuk gambar cakrawala di bagian belakang kamera (yaitu bentuk yang akan ada di film --- "pesawat film") . Berikut ini adalah grafik (dibuat dalam Asymptote , untuk mereka yang tertarik) yang akan membuat ini lebih jelas:

Seperti yang kita lihat di atas, gambar cakrawala adalah bagian dari bagian kerucut. Biarkan menjadi eksentrik kerucut; derivasi yang saya sebutkan di atas sebagai gantinya menggunakan parameter k , yang merupakan eksentrisitas terbalik: k = 1 / ε . Eksentrisitas itu sendiri diberikan sebagai ε = 1 / $\varepsilon$$k$$k=1/\varepsilon$ , di manaε=h/Radalah rasio ketinggianhdari lubang jarum di atas permukaan Bumi dan Bumi radiusR. [Alih-alih menggunakanϵ, yang merupakan rasioketinggianterhadapR, mungkin berguna untuk menggunakanη, rasiojarak lubang jarum ke pusat bumi,h+R, dengan jari-jari Bumi:η=(R+h)/R=$\varepsilon=1/\sqrt{\epsilon(2+\epsilon)}$$\epsilon=h/R$$h$$R$$\epsilon$$R$$\eta$$h+R$ . Dalam hal η , kita memiliki ε = 1 / $\eta=(R+h)/R=1+\epsilon$$\eta$ ]$\varepsilon=1/\sqrt{\eta^{2}-1}$

Jarak dari lubang jarum (titik dalam grafik) ke bidang film diambil menjadi satu satuan panjang.$P$

The sumbu di bidang film dipilih untuk menjadi sejajar dengan garis yang menghubungkan pusat bumi C (tidak ditampilkan dalam gambar) dan titik di cakrawala (berlabel V pada gambar) di mana kamera dilatih. Pilihan ini baik-didefinisikan karena garis C V harus sejajar dengan bidang film. Alasan untuk ini adalah bahwa kedua C V dan bidang film tegak lurus terhadap garis pandang P V (garis bergabung P dan V ). Dan itu adalah karena 1. garis P V bersinggungan dengan Bumi pada V , sehingga tegak lurus$y$$C$$V$$CV$$CV$$PV$$P$$V$$PV$$V$ , dan 2. P V adalah tegak lurus terhadap bidang film karena kamera dilatih di V . The x sumbu tentu tegak lurus terhadap y sumbu dan kebohongan di bidang film, dan asal dipilih sebagai proyeksi dari titik V .$CV$$PV$$V$$x$$y$$V$

Dengan definisi-definisi ini, kami siap untuk menuliskan representasi dari bagian kerucut yang merupakan gambar cakrawala bumi. Ini dapat ditulis dalam banyak cara, beberapa di antaranya diberikan di bawah ini. Yang saya butuhkan adalah referensi yang memiliki reputasi baik untuk salah satu dari formula ini, atau untuk formula yang setara dengan mereka.

1. Formula eksplisit yang diberikan dalam derivasi yang disebutkan di atas

Derivasi yang saya sebutkan di atas memberikan ini sebagai versi final:

$[\,y\,(1/\varepsilon-\varepsilon)-1\,]^{2}+x^{2}(1/\varepsilon^{2}-1)=1.$

Mari kita wakili ini dalam beberapa cara tambahan.

2. Ekspresi dalam hal persamaan kanonik dari bagian kerucut

Dalam hal ini, persamaannya mengambil bentuk berikut :

,$x^2=2\mu y-(1-\varepsilon^{2}) y^2$

di mana, dalam kasus kami, .$\mu=\varepsilon$

Keuntungan dari bentuk kanonik adalah bahwa ia dapat menangani semua kerucut dengan pijakan yang sama, termasuk khususnya kasus parabola, . Dalam formulasi `` standar '' (lihat di bawah), kasus parabola hanya dapat ditangani dengan mengambil batas ε → 1 .$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

Perincian: rumus di atas berlaku untuk kerucut bundar kanan, yang sisi-sisinya membentuk sudut , berpotongan --- pada jarak d dari titik puncak kerucut --- oleh pesawat pada sudut ω relatif ke sumbu kerucut. (Untuk memperjelas: d adalah jarak dari titik kerucut ke titik pada elips yang paling dekat dengan titik kerucut; titik itu selalu merupakan salah satu ujung sumbu utama elips). Dalam kasus umum ini, eksentrisitas diberikan sebagai ε = cos ω / cos θ , sedangkan μ = d ( ε - cos |$2\theta$$d$$\omega$$d$$\varepsilon=\cos \omega/\cos \theta$ .$\mu=d(\varepsilon-\cos|\omega+\theta|)$

Dalam hal grafik di atas: adalah jarak dari P ke bidang film (yaitu, jarak sepanjang garis merah putus-putus); θ adalah sudut antara garis merah putus-putus dan sumbu kerucut (yang merupakan garis yang menghubungkan P dan pusat bumi --- perpanjangan garis hitam berlabel h dalam grafik); sudut ω adalah sudut antara sumbu kerucut dan bidang film.$d$$P$$\theta$$P$$h$$\omega$

Mengingat bahwa bidang film tegak lurus terhadap garis merah putus-putus, kita memiliki ; selain itu, kita ambil d = 1 , yang kemudian bersama-sama memberikan μ = ε .$\omega+\theta=\pi/2$$d=1$$\mu=\varepsilon$

3. Ekspresi dalam hal `` bentuk standar 'dari bagian kerucut

Bentuk ini mungkin yang paling akrab:

.$\frac{(x-x_{0})^{2}}{p^2}+\frac{(y-y_{0})^{2}}{q^2}=1$

Ini terkait dengan parameter yang memasukkan persamaan kanonik (lihat 2., di atas) sebagai berikut:

;$x_{0}=0$

(yaitu$y_{0}=q=\frac{\mu}{1-\varepsilon^{2}}$ dalam kasus kami — perhatikan bahway0=qmengikuti dari fakta bahwa elips melewati titik asal); dan$\frac{\varepsilon}{1-\varepsilon^{2}}$$y_{0}=q$

(yaitu$p=q\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}=\frac{\mu}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$dalam kasus kami).$\frac{\varepsilon}{\smash[b]{\sqrt{|1-\varepsilon^{2}|}}}$

$\varepsilon=1$$\varepsilon\to 1$

4. Ekspresi dalam hal kurva parametrik

$x=\frac{(\epsilon+1) \cos (\alpha )}{\sin (\alpha )+\epsilon(\epsilon+2)}$

$y=\frac{\sqrt{\epsilon (\epsilon+2)} (\sin (\alpha )-1)}{\sin (\alpha )+\epsilon (\epsilon+2)},$

dimana $\alpha$$\alpha=\pi/2$$V$

Untuk bagaimana seseorang menggunakan formula ini, lihat ini .

Kesimpulannya...

Adakah yang melihat formula di atas dalam beberapa sumber yang memiliki reputasi baik, mungkin dalam konteks pemodelan bagaimana Bumi terlihat dari ruang angkasa? Jika demikian, dapatkah Anda memberi tahu saya apa sumber ini?

Terima kasih!

Kurva yang Anda cari hanyalah persimpangan pesawat (bagian belakang kamera) dan kerucut bundar kanan. Ini sebenarnya bukan pertanyaan tentang bumi, atau pandangan planet-planet dari ruang angkasa; itu hanya geometri koordinat 3D sederhana sederhana. Untuk menemukan referensi, saya akan merekomendasikan mencari "persimpangan bidang dan kerucut" atau "bagian bidang kerucut", atau "bagian bidang kuadrat", sesuatu seperti itu.

Saya berharap Anda dapat menemukan rumus yang relevan (dan derivasi) dalam teks standar apa pun pada geometri koordinat 3D. Beberapa tempat yang mungkin adalah:

• Salmon - Sebuah Risalah tentang Geometri Analitik Tiga Dimensi
• Somerville - Analitik Geometri Tiga Dimensi
• Snyder dan Sisam - Analytic Geometry of Space

Ini semua adalah buku-buku yang cukup tua, dan Anda mungkin kesulitan menemukannya.

Anda juga dapat mencoba bertanya di Math.StackExchange.

Memanggil derivasi "penelitian asli" tampaknya tidak masuk akal, bagi saya. Ini masalah pekerjaan rumah sekolah menengah dalam geometri analitik.