Ada berapa posisi seperti itu? (puzzle catur catur matematika)

Saya tertarik dengan posisi seperti ini:

Hanya ada 4 buah di papan tulis. Jika Whites masuk duluan, mereka bisa sekakmat dalam satu gerakan. Jika Blacks pergi dulu, mereka bisa sekakmat dalam satu gerakan. Sebagai contoh:

Pertanyaannya adalah: Ada berapa posisi seperti itu?

Saya menemukan 3 posisi utama:

Masing-masing dari mereka memberi kami 6 posisi lagi. Kita dapat memindahkan posisi awal Ratu hitam ke 6 kotak lainnya. Jadi kami memiliki 21 posisi dasar.

Apakah ada posisi dasar lainnya?

Untuk setiap posisi dasar kita dapat:

1) beralih warna x2

2) putar papan x4

3) posisi cermin x2

Jadi satu posisi dasar menghasilkan 2x4x2 = 16 posisi. Dan jawaban akhirnya adalah: Ada 16x21 = 336 posisi seperti itu.

Apakah ini benar?

Posisi dasar kedua Anda memungkinkan untuk 4 varian lebih dari yang sudah Anda berikan, ditunjukkan oleh diagram berikut:

Itu membawa penghitungan untuk "posisi dasar" ke 25. Apakah penambahan itu membuat daftar lengkap atau tidak, saya tidak sepenuhnya yakin (meskipun saya pikir itu benar).

Bagaimanapun, berapapun jumlah posisi dasarnya, ekstrapolasi Anda dari jumlah total posisi dari sana (x2 untuk sakelar warna dan x8 untuk transformasi papan) benar karena kelompok simetri papan catur memang memiliki urutan 8 , seperti yang dikonfirmasi pada hal.334 bab ini dari Handbook of Constraint Programming , misalnya. (Namun, orang perlu berhati-hati tentang penghitungan yang berlebihan di sini; lihat di bawah.) Jadi saat ini saya menduga bahwa jawabannya adalah 25 x 16 = 400.

Saya menambahkan penyimpangan matematis ini karena saya melihat dari profil Anda bahwa Anda tertarik untuk melanjutkan studi matematika lebih lanjut. Saya mungkin tidak mengatakan apa pun di sini yang belum Anda sadari, tapi begini saja.

Perhatikan bahwa ada beberapa posisi catur yang akan keluar identik di bawah simetri papan yang berbeda. Misalnya, pertimbangkan tindakan merefleksikan diagonal a1-h8. Simetri papan itu biasanya akan mengubah posisi tertentu, misalnya

menjadi

Tetapi tentu saja beberapa posisi (yaitu yang hanya memiliki potongan di diagonal a1-h8) tidak berubah di bawah simetri itu, misalnya posisi

tetap tidak berubah ketika kita merefleksikan diagonal itu.

Karena perilaku semacam ini, orang umumnya perlu berhati-hati untuk tidak menghitung dalam masalah penghitungan seperti ini. Untuk masalah Anda, itu berarti memastikan bahwa tidak ada posisi dasar Anda yang berulang dengan simetri (non-identitas) mana pun, sehingga "x 16" kami saat memperoleh jumlah posisi total dari jumlah posisi dasar tidak overcounting. Dalam kasus ini, posisi dasar Anda cukup rumit / asimetris sehingga secara intuitif jelas tidak ada yang akan diulangi di bawah simetri ini, sehingga tidak ada yang perlu dikhawatirkan, tetapi dalam matematika sering kali ketika hal-hal "jelas secara intuitif" bahwa seseorang perlu paling khawatir tentang kesalahan. (Bahkan, ada pepatah yang mengatakan bahwa jika Anda ingin menemukan kesalahan dalam bukti matematika, mulailah dari mana saja yang berbunyi, "Jelas bahwa ...")