Bagaimana Anda menghitung efek presesi pada orbit elips?

Hukum pertama Kepler menyatakan bahwa planet (dan semua benda langit yang mengorbit benda lain) berjalan dalam orbit elips, yang memiliki formula terkenal yang membuatnya relatif mudah untuk menghitung elemen orbital dan perilaku terkait. Namun, presesi yang terus-menerus berarti bahwa orbitnya terus berubah - dan karenanya planet ini sebenarnya tidak bergerak di elips yang semula ditetapkannya! Anda dapat menghitung presesi dan efek yang terkait ( pertanyaan dan jawaban ini membantu), tetapi apakah ada cara untuk menghitung bagaimana orbit elips akan "berubah bentuk" oleh presesi?

Titik awal yang baik adalah <menyisipkan nama beberapa ilmuwan dari dahulu kala> persamaan gerak planet. Misalnya, ada persamaan planet Lagrange (kadang-kadang disebut persamaan planet Lagrange-Laplace), persamaan planet Gauss, persamaan planet Delaunay, persamaan planet Delphi, persamaan planetary Hill, dan beberapa lainnya. Tema umum di antara berbagai persamaan planet ini adalah bahwa mereka menghasilkan turunan waktu dari berbagai elemen orbital sebagai fungsi dari turunan parsial dari kekuatan yang mengganggu / potensi yang mengganggu sehubungan dengan beberapa posisi umum.

Secara umum, satu-satunya kata yang dapat menggambarkan hasil dari proses ini pada awalnya adalah "kekacauan panas." Kekacauan yang panas tidak menghalangi pikiran brilian masa lalu itu. Melalui berbagai asumsi penyederhanaan dan rata-rata waktu jangka panjang, mereka datang dengan deskripsi yang cukup sederhana, misalnya, (presesi apsidal) dan (presesi planar). Anda dapat melihat sebagian dari ini dalam karya 1900 yang dikutip oleh Hill di bawah ini.⟨d$\left \langle \frac{d\omega}{dt} \right\rangle$$\left \langle \frac{d\Omega}{dt} \right\rangle$

Meskipun teknik-teknik ini sudah tua, persamaan planet ini masih digunakan sampai sekarang. Kadang-kadang Anda memang mendapatkan "kekacauan panas" tidak apa-apa karena sekarang kami memiliki komputer. Orang-orang menggunakan persamaan planet yang dipadukan dengan teknik integrasi geometris untuk menghasilkan integrator yang cepat, akurat, stabil, dan menghemat momentum sudut dan energi dalam rentang waktu yang lama. (Biasanya, Anda tidak dapat memiliki semua ini. Anda beruntung jika Anda hanya mendapatkan dua atau tiga.) Fitur bagus lain dari persamaan planet ini adalah bahwa mereka membiarkan Anda melihat fitur seperti resonansi yang sebaliknya dikaburkan oleh yang benar-benar " kekacauan panas "dari persamaan gerak kartesius.

Bahan referensi yang dipilih, disortir berdasarkan tanggal:

Hill (1900), "Tentang Perluasan Metode Delaunay dalam Teori Lunar ke Masalah Umum Gerakan Planet," Transaksi Masyarakat Matematika Amerika , 1.2: 205-242.

Vallado (1997 dan yang lebih baru), "Fundamentals of Astrodynamics and Applications", berbagai penerbit. Selain lubang yang menembus dompet Anda, Anda tidak bisa salah dengan buku ini.

Efroimsky (2002), "Persamaan untuk elemen keplerian: simetri tersembunyi," Institute for Mathematics dan Aplikasinya

Efroimsky dan Goldreich (2003), "Mengukur simetri masalah N-body dalam pendekatan Hamilton-Jacobi." Jurnal Fisika Matematika , 44.12: 5958-5977.

Wyatt (2006-2009), program kuliah pascasarjana tentang sistem planet, Institut Astronomi, Cambridge.
Hasil dari persamaan planet Lagrange disajikan pada slide 6.

Ketchum et al. (2013), "Mean Motion Resonances dalam Sistem Exoplanet: Investigasi terhadap Perilaku Mengangguk." The Astrophysical Journal 762.2.

Satu-satunya orbit elips yang benar-benar confocal adalah bahwa dari partikel uji terikat di potensial pusat atau, ekuivalen, bahwa dari dua titik (seperti distribusi massa internal bola simetris) massa menarik satu sama lain dengan gravitasi Newton (dan memiliki negatif energi total, yaitu terikat satu sama lain).$-k/r$

Segala sesuatu yang lain adalah non-elips (orbit yang tidak terikat adalah parabola atau hiperbolik), tetapi kebanyakan penyimpangannya kecil. Penyimpangan kecil dapat muncul dari sejumlah sumber, termasuk istilah quadrupole dalam distribusi massa tubuh (khususnya Matahari), gaya non-gravitasi (tekanan radiasi dan hambatan gas pada butiran debu), efek non-Newtonian (GR), gangguan dari objek lain (semua planet lain). Newton sendiri sangat menyadari efek terakhir ini.

Jika penyimpangannya kecil, maka cara tradisional untuk memperkirakannya adalah teori perturbasi , di mana seseorang mengintegrasikan gaya perturbing di sepanjang orbit (elips) yang tidak terganggu. Misalnya, untuk mendapatkan presesi periapse, orang dapat mengintegrasikan perubahan ke vektor eksentrisitas. Rotasi vektor itu sesuai dengan presesi periapse. Lihat jawaban saya untuk pertanyaan ini , untuk contoh persisnya.

David Hammen menulis

Orang-orang menggunakan persamaan planet ditambah dengan teknik integrasi geometris ...

Anda juga dapat mencoba (apa yang saya sebut) simulasi langkah terbatas sederhana menggunakan hukum Newton untuk beroperasi pada massa objek, posisi, kecepatan dan percepatan. Saya tidak yakin apakah ini termasuk dalam apa yang David sebut "teknik integrasi geometris". Maksud saya adalah Anda dapat melakukannya tanpa memasukkan persamaan planet. Kerugian = simulator "memotong sudut" dengan menggunakan perkiraan dan ini mengarah pada perilaku dalam model yang merupakan artefak. Kerugian ini dapat diatasi dengan menggunakan teknik lain. Keuntungan = itu membuat desain kode lebih mudah, itu menghindari kecurigaan bahwa persamaan planet (dan asumsi mereka) mendorong pertunjukan.

Anda tidak perlu menjadi ahli dalam metode numerik untuk menggunakan teknik Integrasi Leapfrog sederhana (dijelaskan secara rinci dalam Feynman Lectures vol I ) untuk memodelkan Presesi Newtonian dalam tata surya yang mengorbit selama periode hingga beberapa abad. Dengan menjalankan simulasi pada berbagai langkah waktu (mis. ) memplot hasil di Excel, menyesuaikan kurva dan mengekstrapolasi ke$dt=1200s, 600s, 300s, 100s$$dt=0$Anda dapat memperoleh hasil untuk presesi Newtonian jangka panjang rata-rata yang berada dalam 1% dari angka yang diterima. Keuntungan lain dari metode analitis yang menghasilkan hasil rata-rata jangka panjang adalah bahwa Anda dapat memeriksa perilaku pada skala waktu yang lebih pendek. Misalnya, jika Anda membuat grafik arah perihelion vs waktu untuk planet tertentu (misalnya Merkuri), Anda dapat melihat tahun fluktuasi berkala dalam tingkat presesi yang dihasilkan dari pergerakan Jupiter di sekitar Matahari. Ini juga sangat menyenangkan (dan sangat mudah setelah Anda menulis kode dasar) untuk bermain "bagaimana jika?" simulasi dengan memvariasikan jumlah dan properti benda dalam sistem dan bahkan dengan menambahkan gaya Non-Newtonian tambahan. $\approx 11.9$

Mengutip Feymnan: -

Bisa jadi dalam satu siklus perhitungan, tergantung pada masalahnya, kita mungkin memiliki 30 perkalian, atau sesuatu seperti itu, jadi satu siklus akan membutuhkan 300 mikrodetik. Itu berarti bahwa kita dapat melakukan 3000 siklus perhitungan per detik. Untuk mendapatkan akurasi, dari, katakanlah, satu bagian dalam satu miliar, kita akan memerlukan 4 × 10 ^ 5 siklus untuk berhubungan dengan satu revolusi planet di sekitar matahari. Itu sesuai dengan waktu perhitungan 130 detik atau sekitar dua menit. Dengan demikian hanya perlu dua menit untuk mengikuti Jupiter mengelilingi matahari, dengan semua gangguan dari semua planet yang benar ke satu bagian dalam satu miliar, dengan metode ini!

Tetapi Anda harus berpikir dengan hati-hati tentang apa yang dapat Anda simpulkan dari simulasi - misalnya jika langkah waktu Anda lebih dari beberapa ratus detik, simulasi akan menunjukkan presesi dalam arah yang berlawanan dengan apa yang benar-benar terjadi (yaitu retrograde ketika itu harus prograde).