Adakah teknik analitik untuk menentukan efek percepatan transversal variabel kecil terhadap laju presesi presi (bukan presesi melainkan rotasi garis aspida) dari sebuah planet yang mengorbit Matahari di dalam bidang 2D menurut hukum gravitasi Newtonian ?
Saya telah memodelkan efek seperti itu dalam model komputer yang berulang dan ingin memverifikasi pengukuran tersebut.
Formula akselerasi melintang adalah
Dimana:-
c adalah kecepatan cahaya,
K adalah konstanta besarnya antara 0 dan +/- 3, sehingga .
Ar adalah percepatan planet menuju Matahari karena pengaruh gravitasi Newton dari Matahari, ( ).
Vr adalah komponen radial dari kecepatan planet relatif terhadap Matahari (+ = gerak menjauh dari Matahari)
Vt adalah komponen transversal kecepatan planet relatif terhadap Matahari (+ = arah gerak maju planet di sepanjang jalur orbitnya). Secara Vectorially Vt = V - Vr di mana V adalah total vektor kecepatan sesaat dari planet relatif terhadap Matahari.
Asumsikan massa planet relatif kecil terhadap Matahari
Tidak ada badan lain dalam sistem
Semua gerakan dan akselerasi terbatas pada bidang dua dimensi orbit.
MEMPERBARUI
Alasan mengapa ini menarik bagi saya adalah bahwa nilai K = +3 dalam model komputer saya menghasilkan nilai tingkat rotasi periapse anomali (Non-Newtonian) yang sangat dekat dalam sekitar 1% dari yang diprediksi oleh Relativitas Umum dan dalam beberapa persen dari yang diamati oleh para astronom (Le Verrier, diperbarui oleh Newcomb).
Formula (Einstein, 1915) untuk rotasi periapse yang diturunkan GR (radian per orbit) dari http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession
PEMBARUAN 4
Saya telah menerima jawaban Walter. Tidak hanya dia menjawab pertanyaan awal (Apakah ada teknik ...?) Tetapi juga analisisnya menghasilkan formula yang tidak hanya mengkonfirmasi efek simulasi komputer dari rumus percepatan transversal (untuk K = 3) tetapi juga (tanpa diduga) bagi saya) pada dasarnya setara dengan rumus Einstein 1915.
dari Walter's Summary (dalam jawaban Walter di bawah): -
: (dari analisis peturbasi orde pertama) sumbu semi-utama dan eksentrisitas tidak berubah, tetapi arah periapse berputar di bidang orbit dengan kecepatan di mana adalah frekuensi orbital dan dengan sumbu semi-mayor. Perhatikan bahwa (untuk ) ini sesuai dengan tingkat presesi relativitas umum (GR) pada urutan (diberikan oleh Einstein 1915).Ωvc=ΩsebuahsebuahK=3v 2 c /c2
sumber
Jawaban:
Anda mungkin ingin menggunakan teori perturbasi . Ini hanya memberi Anda jawaban perkiraan , tetapi memungkinkan untuk perawatan analitik. Kekuatan Anda dianggap sebagai gangguan kecil ke orbit elips Keplerian dan persamaan yang dihasilkan dari gerak diperluas dalam kekuatan dari . Untuk teori perturbasi linear, hanya istilah linear dalam yang dipertahankan. Ini hanya mengarah pada pengintegrasian gangguan di sepanjang orbit asli yang tidak terganggu. Menulis kekuatan Anda sebagai vektor, percepatan yang mengganggu adalah dengan kecepatan radial ( ) dan K a = K G MK K vr=v⋅ r v≡ ˙ r vt=(v - r (v⋅ r ))
Sekarang, itu tergantung apa yang Anda maksud dengan ' efek '. Mari kita selesaikan perubahan sumbu semimajor orbital , eksentrisitas , dan arah periapse.eSebuah e
Untuk merangkum hasil di bawah ini : sumbu semi-mayor dan eksentrisitas tidak berubah, tetapi arah periapse berputar di bidang orbit dengan kecepatan di mana adalah frekuensi orbital dan dengan sumbu semi-mayor. Perhatikan bahwa (untuk ) ini sesuai dengan tingkat presesi relativitas umum (GR) pada urutan (diberikan oleh Einstein 1915 tetapi tidak disebutkan dalam pertanyaan asli).Ωvc=ΩsebuahsebuahK=3v 2 c /c2
perubahan sumbu semimajor
Dari relasi (dengan energi orbital) yang kita miliki untuk perubahan akibat eksternal (non-Keplerian) akselerasi Memasukkan (perhatikan bahwa dengan vektor momentum sudut ), kita mendapatkan Karena rata-rata orbit untuk fungsi apa pun (lihat di bawah), .E = 1a = - G M/ 2E a ˙ a =2a2E= 12v2- G Mr- 1 Sebuah av⋅vt=h2/r2h≡r∧v ˙ a =2a2Kh2
perubahan eksentrisitas
Dari , kami menemukan Kita sudah tahu bahwa , jadi hanya perlu mempertimbangkan istilah pertama. Dengan demikian, tempat saya menggunakan identitas dan faktanyae ˙ e = - h ⋅ ˙ hh2=(1−e2)GMa ⟨ ˙ sebuah ⟩=0e ˙ e =-(r∧v)⋅(r∧a)
perubahan arah periapse
The eksentrisitas vektor poin (dari pusat gravitasi) ke arah periapse, memiliki magnitudo , dan dilestarikan di bawah gerakan Keplerian (validasikan semua itu sebagai latihan!). Dari definisi ini kami menemukan perubahan seketika karena percepatan eksternale≡v∧h/GM−r^ e
Jangan lupa bahwa karena penggunaan teori perturbasi orde pertama kami, hasil ini hanya benar dalam batas . Namun, pada teori gangguan orde dua, baik dan / atau dapat berubah. Dalam percobaan numerik Anda, Anda harus menemukan bahwa perubahan orbit-rata-rata dari dan yang baik nol atau skala lebih kuat dari linear dengan gangguan amplitudo .K(vc/c)2→0 a e a e K
Penafian Tidak ada jaminan bahwa aljabar itu benar. Periksa!
Lampiran: rata-rata orbit
Rata-rata orbit dari dengan fungsi yang abitrary (tetapi terintegrasi) dapat langsung dihitung untuk semua jenis orbit periodik. Misalkan menjadi antiderivatif dari , yaitu , maka rata-rata orbitnya adalah: dengan periode orbital.vrf(r) f(r) F(r) f(r) F′=f
Untuk rata-rata orbit yang diperlukan dalam , kita harus menggali sedikit lebih dalam. Untuk orbit elips Keplerian dengan vektor eksentrisitas dan vektor tegak lurus terhadap dan . Di sini, adalah anomali eksentrik, yang terkait dengan anomali rata-rata melalui sehingga⟨e˙⟩
Dengan ini, kita memiliki [ diperbaiki lagi ] khususnya, komponen dalam arah rata-rata ke nol. Jadi [ diperbaiki lagi ]
sumber