Distribusi probabilitas fungsi variabel acak?

9

Saya ragu: pertimbangkan variabel acak bernilai X dan Z keduanya didefinisikan pada ruang probabilitas (Ω,F,P) .

Misalkan Y:=g(X,Z) , di mana g() adalah fungsi bernilai riil. Karena Y adalah fungsi dari variabel acak, itu adalah variabel acak.

Biarkan x:=X(ω) yaitu realisasi X .

Apakah P(Y|X=x)=P(g(X,Z)|X=x) sama dengan P(g(x,Z)) ?

pengguna3285148
sumber
2
Karena notasi Anda agak disingkat, mungkin perlu menunjukkan bahwa itu secara implisit merujuk pada beberapa himpunan Borel , tunduk pada kuantifier universal, dan karena itu rendering pertanyaan Anda yang lebih lengkap karena itu akan menjadi apakah itu kasus yang A P ( Y A | X = x ) = P ( g ( X , Z ) A | X = x ) = P ( g ( x , Z ) A )A
A P(YA|X=x)=P(g(X,Z)A|X=x)=P(g(x,Z)A).
whuber
@whuber: kesetaraan terakhir Anda hanya valid jika dan Z independen. XZ
Zen
1
OK, Anda hanya mempertimbangkan "apakah memang begitu ...".
Zen

Jawaban:

6

g

P(g(X,Z)AX=x)=P(g(x,Z)AX=x),AB(R)
PXxZX
P(g(X,Z)AX=x)=P(g(x,Z)A),AB(R)
PXx

Ini bergantung pada hasil umum berikut:

U,TSPS(T=t)ST=tPS(AT=t)=P(SAT=t)

(*)E[UT=t]=RE[UT=t,S=s]PS(dsT=t).

E[ψ(S,T)]=RRψ(s,t)PS(dsT=t)PT(dt)
ψψ(s,t)=1B(t)E[US=s,T=t]B
T1(B)UdP=E[1B(T)U]=E[1B(T)E[US,T]]=E[ψ(S,T)]=RRψ(s,t)PS(dsT=t)PT(dt)=Bφ(t)PT(dt)
φ(t)=RE[UT=t,S=s]PS(dsT=t).
Bφ(t)=E[UT=t]

AB(R)()U=ψ(X,Z)ψ(x,z)=1g1(A)(x,z)S=ZT=X

E[UX=x,Z=z]=E[ψ(X,Y)X=x,Z=z]=ψ(x,z)
()
P(g(X,Z)AX=x)=E[UX=x]=Rψ(x,z)PZ(dzX=x)=P(g(x,Z)AX=x).
Stefan Hansen
sumber