Berapa probabilitas bahwa taruhan bertaruh mispricing pada pertandingan sepak bola?

Tim sepak bola Inggris memainkan serangkaian pertandingan melawan lawan yang berbeda dari berbagai kemampuan. Taruhan menawarkan peluang untuk setiap pertandingan, apakah itu pertandingan kandang, menang tandang, atau seri. Bagian-jalan melalui musim, tim telah memainkan pertandingan dan telah menarik dari mereka, yang lebih dari yang diharapkan dari peluang.$n$$k$

Berapa probabilitas bahwa bandar taruhan salah menilai peluang pada pertandingan-pertandingan ini, daripada hanya menjadi tidak beruntung? Jika taruhan terus menilai sisa pertandingan tim dengan cara yang sama, dan saya bertaruh bahwa masing-masing akan seri, berapa pengembalian yang saya harapkan?$\$1$

Jawaban atas pertanyaan Anda sangat tergantung pada informasi dan asumsi apa yang akan Anda gunakan. Ini karena hasil permainan adalah proses yang sangat rumit. Ini bisa menjadi rumit semena-mena tergantung pada informasi apa yang Anda miliki tentang:

1. Pemain di tim tertentu - bahkan mungkin kombinasi pemain tertentu mungkin relevan.
2. Pemain di tim lain
3. Sejarah liga yang lalu
4. Seberapa stabil para pemain tim - apakah pemain terus dipilih dan dijatuhkan, atau apakah itu sama 11.
5. Waktu Anda memasang taruhan Anda (selama pertandingan? Sebelum? Berapa banyak sebelumnya? Info apa yang hilang dari taruhan sebelum bertaruh pada hari itu?)
6. beberapa fitur lain yang relevan dari sepakbola yang telah saya hilangkan.

Peluang yang diberikan pembuat buku bukanlah cerminan peluang pembuat buku. yang tidak mungkin jika mereka probabilitas. Pembuat buku akan menyesuaikan peluang turun ketika seseorang bertaruh pada hasil imbang, dan menyesuaikannya ketika seseorang bertaruh pada hasil imbang. Dengan demikian, peluang adalah cerminan peluang penjudi (yang menggunakan pembuat buku itu) secara keseluruhan. Jadi bukan bandar judi yang salah menilai, itu adalah kolektif judi - atau "penjudi rata-rata".

Sekarang jika Anda mau berasumsi bahwa "mekanisme sebab akibat" apa pun yang menghasilkan hasil seri tetap konstan sepanjang musim (masuk akal? Mungkin tidak ...), maka masalah matematika sederhana diperoleh (tetapi perhatikan bahwa tidak ada alasan untuk ini menjadi "lebih benar" daripada beberapa asumsi penyederhanaan lainnya). Untuk mengingatkan kita bahwa ini adalah asumsi yang digunakan, akan diletakkan di sisi pengkondisian probabilitas. Berdasarkan asumsi ini distribusi binomial berlaku:$A$

$$P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)={n \choose k}\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}$$

Dan kami ingin menghitung yang berikut ini

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)$$ $$=\int_{0}^{1}P(\text{next match is a draw}|\theta,A)P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)d\theta$$

di mana

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=P(\theta|A)\frac{P(\text{k Draws in n matches}|\theta,A)}{P(\text{k Draws in n matches}|A)}$$

adalah posterior untuk . Sekarang dalam kasus ini, cukup jelas bahwa penarikan mungkin terjadi, dan juga mungkin tidak terjadi, jadi penyeragaman yang sebelumnya sudah tepat (kecuali ada informasi tambahan yang ingin kami sertakan di luar hasil musim ini. ) dan kami menetapkan . Posterior kemudian diberikan oleh distribusi beta (di mana adalah fungsi beta )$\theta$$P(\theta|A)=1$$B(\alpha,\beta)$

$$P(\theta|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}$$

Diberikan dan probabilitas bahwa pertandingan berikutnya adalah seri hanya sehingga integral menjadi:$\theta$$A$$\theta$

$$\int_{0}^{1}\theta \frac{\theta^{k}(1-\theta)^{n-k}}{B(k+1,n-k+1)}d\theta=\frac{B(k+2,n-k+1)}{B(k+1,n-k+1)}=\frac{k+1}{n+2}$$

dan karenanya probabilitasnya adalah:

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)=\frac{k+1}{n+2}$$

Tetapi perhatikan bahwa itu tergantung pada - asumsi yang dibuat. Sebut "kemungkinan harga" bersyarat probabilitas pada beberapa informasi yang kompleks yang tidak diketahui lainnya, mengatakan . Jadi, jika peluang yang diterbitkan berbeda dengan fraksi di atas, maka ini mengatakan bahwa dan mengarah pada kesimpulan yang berbeda, sehingga keduanya tidak mungkin benar tentang "hasil yang sebenarnya" (tetapi keduanya dapat menjadi syarat yang tepat pada asumsi yang dibuat masing-masing). ).$A$$B$$A$$B$

PEMBUNUH PEMBUNUH

Contoh ini menunjukkan bahwa jawaban atas pertanyaan Anda bermula untuk memutuskan apakah "lebih akurat" daripada dalam menggambarkan mekanisme permainan sepakbola. Ini akan terjadi terlepas dari apa proposisi terjadi . Kami akan selalu bermuara pada pertanyaan tentang "asumsi siapa yang benar, kolektif judi atau milik saya?" Pertanyaan terakhir ini pada dasarnya adalah pertanyaan yang tidak dapat dijawab sampai Anda tahu persis apa yang termasuk dalam proposisi (atau setidaknya beberapa fitur utama darinya). Sebab bagaimana Anda bisa membandingkan sesuatu yang dikenal dengan sesuatu yang tidak?$A$$B$ $A$ $B$

UPDATE: Jawaban aktual :)

Seperti @whuber telah menunjukkan dengan nakal, saya belum benar-benar memberikan nilai yang diharapkan di sini - jadi bagian ini hanya melengkapi bagian dari jawaban saya. Jika seseorang berasumsi bahwa benar dengan peluang harga , maka Anda akan mengharapkan, di game berikutnya untuk menerima $A$ $Q$

$$Q\times P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A)-1$$ $$=Q\times \frac{k+1}{n+2}-1=\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Sekarang jika Anda menganggap bahwa nilai didasarkan pada model yang sama seperti milik Anda, maka kami dapat memprediksi dengan tepat bagaimana akan berubah ke masa depan. Misalkan didasarkan pada yang berbeda sebelum yang seragam, katakan , maka probabilitas yang sesuai adalah$Q$$Q$$Q$$Beta(\alpha_Q,\beta_Q)$

$$P(\text{next match is a draw}|\text{k Draws in n matches},A_Q)=\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

dengan pengembalian yang diharapkan dari

$$\frac{Q(k+\alpha_Q)-n-\alpha_Q-\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$

Sekarang jika kita membuat "bobot sebelumnya" mana adalah panjang musim (ini akan memungkinkan "harga yang salah" berlanjut hingga sisa musim) dan atur pengembalian yang diharapkan ke nol kita dapatkan:$\alpha_Q+\beta_Q = \frac{N}{2}$$N$

$$\alpha_Q=\frac{2n+N}{2Q}-k$$

(CATATAN: kecuali jika ini adalah model aktual, akan bergantung pada kapan perhitungan ini dilakukan, karena tergantung pada yang akan bervariasi dari waktu ke waktu). Sekarang kita dapat memprediksi bagaimana akan disesuaikan ke masa depan, itu akan menambahkan ke penyebut untuk setiap pertandingan, dan ke pembilang jika pertandingan itu seri. Jadi peluang yang diharapkan setelah pertandingan pertama adalah:$\alpha_Q$$n,k,Q$$Q$$1$$1$

$$(1+\frac{n+\beta_Q-k+1}{k+\alpha_Q})\frac{n-k+\beta_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}+(1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q+1})\frac{k+\alpha_Q}{n+\alpha_Q+\beta_Q}$$ $$=1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}\left(1+\frac{2}{(2n+N)(k+\alpha_Q+1)}\right)\approx 1+\frac{n+\beta_Q-k}{k+\alpha_Q}$$

Itu kemungkinan tidak akan banyak berubah sepanjang musim. Dengan menggunakan perkiraan ini, kami mendapatkan pengembalian yang diharapkan selama sisa musim sebagai:

$$(N-n)\frac{Q(k+1)-n-2}{n+2}$$

Tapi ingat bahwa ini didasarkan pada model undian yang terlalu sederhana (catatan: ini tidak berarti bahwa itu akan menjadi prediktor "omong kosong"). Tidak ada jawaban unik untuk pertanyaan Anda, karena belum ada model yang ditentukan, dan tidak ada informasi yang ditentukan sebelumnya (mis. Berapa banyak orang yang menggunakan bandar ini? Berapa omset bandar itu? Bagaimana taruhan saya mempengaruhi peluang yang mereka bayarkan?). Satu-satunya hal yang telah ditentukan adalah data dari satu musim, dan bahwa untuk "beberapa model yang tidak ditentukan" probabilitas tidak konsisten dengan yang tersirat oleh harga peluang.

Taruhan menggunakan overround sehingga mereka tidak peduli apa hasilnya karena mereka memenangkan apa pun. Itu sebabnya Anda tidak pernah bertemu bandar judi yang buruk. Jika seorang bandar membuat kesalahan harga menarik kemampuan Anda untuk menghasilkan laba akan tergantung pada peluang yang ditawarkan oleh bandar taruhan dan apakah laba yang dihasilkan akan menutupi waktu Anda kalah.