Jumlah rasio kelahiran anak perempuan dan anak laki-laki yang diharapkan

45

Saya telah menemukan pertanyaan dalam tes bakat wawancara kerja untuk berpikir kritis. Ini berjalan kira-kira seperti ini:

Republik Zorganian memiliki beberapa kebiasaan yang sangat aneh. Pasangan hanya ingin memiliki anak perempuan karena hanya perempuan yang dapat mewarisi kekayaan keluarga, jadi jika mereka memiliki anak laki-laki, mereka akan memiliki lebih banyak anak sampai mereka memiliki anak perempuan. Jika mereka memiliki seorang gadis, mereka berhenti memiliki anak. Apa rasio perempuan dan laki-laki di Zorgania?

Saya tidak setuju dengan jawaban model yang diberikan oleh penulis pertanyaan, yaitu sekitar 1: 1. Pembenarannya adalah setiap kelahiran akan selalu memiliki peluang 50% untuk menjadi pria atau wanita.

Bisakah Anda meyakinkan saya dengan jawaban yang lebih matematis dari jika adalah jumlah anak perempuan dan B adalah jumlah anak laki-laki di negara ini?GE[G]:E[B]G

Pizza Mobius
sumber
3
Anda benar dalam ketidaksepakatan Anda dengan jawaban model karena rasio kelahiran M: F berbeda dengan rasio M: F anak-anak. Dalam masyarakat manusia nyata, pasangan yang hanya ingin memiliki anak perempuan kemungkinan akan menggunakan cara seperti pembunuhan bayi atau adopsi asing untuk menyingkirkan anak laki-laki, sehingga rasio M: F kurang dari 1: 1.
Gabe
10
@ Gabe Tidak disebutkan pembunuhan bayi dalam pertanyaan itu, ini adalah latihan matematika yang bertentangan dengan analisis kasar dari sebuah negara yang nyata di mana pembunuhan adalah hal biasa. Sama halnya rasio kelahiran anak laki-laki dan perempuan yang sebenarnya lebih dekat dengan 51:49 (mengabaikan faktor sosial)
Richard Tingle
2
Berkat jawaban saya sekarang mengerti mengapa rasionya adalah 1: 1, yang awalnya terdengar kontra intuitif bagi saya. Salah satu alasan ketidakpercayaan dan kebingungan saya adalah, saya tahu desa-desa di China memiliki masalah yang berlawanan dengan rasio anak laki-laki: perempuan yang terlalu tinggi. Saya dapat melihat bahwa secara realistis, pasangan tidak akan dapat terus berkembang tanpa batas waktu sampai mereka mendapatkan jenis kelamin anak yang mereka inginkan. Di Cina, undang-undang hanya mengizinkan maksimum 2 anak untuk orang yang tinggal di daerah pedesaan, jadi dalam hal ini rasionya akan mendekati 3: 2 dari 1: 1.
Mobius Pizza
4
@MobiusPizza: Tidak, rasionya adalah 1: 1 tidak peduli berapa banyak anak yang Anda miliki! Alasan Cina memiliki rasio yang berbeda adalah karena faktor sosial seperti pembunuhan bayi, aborsi selektif jenis kelamin, dan adopsi asing.
Gabe
3
@newmount Simulasi bagus, tetapi artinya hanya sebanyak asumsi yang tertanam di dalamnya. Hanya menampilkan kode, tanpa penjelasan apa pun, menyulitkan orang untuk mengidentifikasi asumsi tersebut. Dengan tidak adanya beberapa pembenaran dan penjelasan seperti itu, tidak ada jumlah output simulasi yang akan menjawab pertanyaan di sini. Sejauh "dunia nyata" berlangsung, siapa pun yang membuat klaim itu harus mendukungnya dengan data tentang kelahiran manusia.
whuber

Jawaban:

46

Mulailah tanpa anak

ulangi langkah

{

Setiap pasangan yang masih memiliki anak memiliki anak. Setengah pasangan memiliki pria dan setengah pasangan memiliki wanita.

Pasangan-pasangan yang memiliki wanita berhenti memiliki anak

}

Pada setiap langkah Anda mendapatkan jumlah laki-laki dan perempuan yang genap dan jumlah pasangan yang memiliki anak berkurang setengahnya (yaitu mereka yang memiliki perempuan tidak akan memiliki anak pada langkah berikutnya)

Jadi, pada waktu tertentu Anda memiliki jumlah pria dan wanita yang sama dan dari langkah ke langkah jumlah pasangan yang memiliki anak turun hingga setengahnya. Karena semakin banyak pasangan yang diciptakan situasi yang sama terulang kembali dan semua hal lainnya dianggap sama, populasi akan mengandung jumlah pria dan wanita yang sama.

martino
sumber
6
Saya pikir ini adalah cara terbaik untuk menjelaskan distribusi probabilitas tanpa mengandalkan bukti matematika yang ketat.
LBushkin
1
Yang saya sukai adalah bahwa ini juga menjelaskan apa yang terjadi pada kelebihan gadis yang diharapkan oleh intuisi Anda: Kelebihan gadis itu diinginkan oleh orang tua (mereka adalah orang tua yang mencoba lagi), tetapi orang tua itu (secara keseluruhan) tidak pernah berhasil membuat kelebihan perempuan.
Ben Jackson
2
Anda dapat menyederhanakan lebih jauh dengan mengatakan "ulangi langkah {seseorang memutuskan apakah akan punya anak}". Aturan yang mereka putuskan sama sekali tidak relevan asalkan semua orang menghasilkan anak laki-laki dan perempuan secara mandiri dengan probabilitas yang sama. Bahkan tidak perlu mengasumsikan nilai untuk probabilitas itu, Anda bisa mengatakan frekuensi dalam populasi akan sama dengan frekuensi saat lahir.
Steve Jessop
1
@martino Saya tidak percaya ini masalahnya, meskipun saya tidak akan terkejut jika ada beberapa matematika yang sangat meyakinkan untuk efek ini. Saya percaya skenario ini mengarah pada gangguan dalam pengertian rasio kami, karena jumlah anak yang diharapkan per keluarga tidak terbatas. Anda harus skeptis terhadap jawaban Anda karena umumnya orang menjawab pertanyaan Anda di utas ini.
jlimahaverford
1
@ martino. Untuk bersenang-senang saya hanya menjalankan simulasi dengan kriteria berhenti itu. 10.000 keluarga memiliki total 160.693.469 anak laki-laki (dan jumlah itu ditambah 10.000 anak perempuan lagi) dengan rasio 0,9999377735896915. Hal yang sangat luar biasa.
jlimahaverford
37

Biarkan menjadi jumlah anak laki-laki dalam sebuah keluarga. Begitu mereka memiliki seorang gadis, mereka berhenti, jadiX

X=0if the first child was a girlX=1if the first child was a boy and the second was a girlX=2if the first two children were boys and the third was a girland so on

Jika adalah probabilitas bahwa seorang anak laki-laki dan jika jenis kelamin tidak tergantung di antara anak-anak, probabilitas bahwa sebuah keluarga akhirnya memiliki anak laki-laki adalah yaitu kemungkinan memiliki anak laki-laki dan kemudian memiliki anak perempuan. The jumlah yang diharapkan dari anak laki-laki adalah Memperhatikan bahwa kita mendapatkan k P ( X = k ) = p k( 1 - p ) , k E X = Σ k = 0 k p k( 1 - p ) = Σ k = 0 k p k - Σ k = 0 k p k + 1 . k =pk

P(X=k)=pk(1p),
k
EX=k=0kpk(1p)=k=0kpkk=0kpk+1.
k=0kpk=k=0(k+1)pk+1
k=0kpkk=0kpk+1=k=0(k+1)pk+1k=0kpk+1=k=0pk+1=pk=0pk=p1p
di mana kami menggunakan itu ketika (lihat seri geometris ).k=0pk=1/(1p)0<p<1

Jika , kita memiliki . Artinya, rata-rata keluarga memiliki 1 anak lelaki. Kita sudah tahu bahwa semua keluarga memiliki 1 anak perempuan, jadi rasionya akan seiring waktu menjadi .p=1/2EX=0.5/0.51/1=1

Variabel acak dikenal sebagai variabel acak geometrik .X

MånsT
sumber
4
Ini, tentu saja, mengasumsikan hal pyang sama untuk semua keluarga. Jika bukan kita berasumsi bahwa beberapa pasangan lebih mungkin untuk memiliki anak laki-laki daripada yang lain ( yaitu , mereka plebih tinggi) maka perubahan hasil, bahkan jika rata-rata nilai pmasih 0,5. (Namun, ini adalah penjelasan yang sangat baik tentang statistik dasar yang mendasarinya.)
Ben Hocking
2
@ Ben Komentar Anda mengandung ide kunci. Hal yang sama terjadi pada saya, jadi saya telah mengedit pertanyaan saya untuk memasukkan analisis situasi yang lebih realistis ini. Ini menunjukkan bahwa rasio pembatas belum tentu 1: 1.
whuber
1
@ BenHocking Memang! Dan seperti yang kita ketahui dari statistik modern dan analisis klasik rasio kelahiran dari Laplace, sebenarnya tidak sama dengan . :)p1/2
MånsT
21

Ringkasan

Model sederhana bahwa semua kelahiran secara mandiri memiliki peluang 50% untuk menjadi perempuan adalah tidak realistis dan, ternyata, luar biasa. Segera setelah kami mempertimbangkan konsekuensi dari variasi hasil di antara populasi, jawabannya adalah bahwa rasio anak perempuan: anak laki-laki dapat berupa nilai apa pun yang tidak melebihi 1: 1. (Pada kenyataannya kemungkinannya masih mendekati 1: 1, tapi itu masalah untuk menentukan analisis data.)

Karena kedua jawaban yang saling bertentangan ini keduanya diperoleh dengan mengasumsikan kemandirian statistik dari hasil kelahiran, banding ke kemandirian adalah penjelasan yang tidak memadai. Dengan demikian tampak bahwa variasi (dalam kemungkinan kelahiran wanita) adalah ide kunci di balik paradoks.

pengantar

Paradoks terjadi ketika kita berpikir bahwa kita memiliki alasan yang baik untuk mempercayai sesuatu tetapi dihadapkan dengan argumen yang tampak sebaliknya.

Resolusi yang memuaskan untuk suatu paradoks membantu kita memahami apa yang benar dan apa yang mungkin salah tentang kedua argumen. Seperti yang sering terjadi dalam probabilitas dan statistik, kedua argumen tersebut sebenarnya dapat valid: resolusi akan bergantung pada perbedaan antara asumsi yang secara implisit dibuat. Membandingkan berbagai asumsi ini dapat membantu kami mengidentifikasi aspek situasi mana yang mengarah pada jawaban yang berbeda. Mengidentifikasi aspek-aspek ini, menurut saya, adalah hal yang paling kita hargai.

Asumsi

Sebagaimana dibuktikan oleh semua jawaban yang diposting sejauh ini, adalah wajar untuk menganggap bahwa kelahiran bayi perempuan terjadi secara independen dan dengan probabilitas konstan dari . Sudah diketahui secara umum bahwa tidak ada asumsi yang benar, tetapi akan terlihat bahwa sedikit penyimpangan dari asumsi-asumsi ini tidak akan banyak mempengaruhi jawabannya. Mari kita lihat. Untuk tujuan ini, pertimbangkan model yang lebih umum dan lebih realistis berikut:1/2

  1. Dalam setiap keluarga probabilitas kelahiran perempuan adalah konstan , terlepas dari urutan kelahiran.ipi

  2. Dengan tidak adanya aturan penghentian, jumlah kelahiran perempuan yang diharapkan dalam populasi harus mendekati jumlah kelahiran laki-laki yang diharapkan.

  3. Semua hasil kelahiran (secara statistik) independen.

Ini masih bukan model yang sepenuhnya realistis dari kelahiran manusia, di mana dapat bervariasi dengan usia orang tua (terutama ibu). Namun, cukup realistis dan fleksibel untuk memberikan resolusi paradoks yang memuaskan yang akan berlaku bahkan untuk model yang lebih umum.pi

Analisis

Meskipun menarik untuk melakukan analisis menyeluruh dari model ini, poin utama menjadi jelas bahkan ketika versi spesifik, sederhana (tetapi agak ekstrim) dipertimbangkan. Misalkan populasi memiliki keluarga. Di setengah dari ini peluang kelahiran wanita adalah dan di setengah lainnya peluang kelahiran wanita adalah . Kondisi ini jelas memuaskan (2): jumlah yang diharapkan dari kelahiran perempuan dan laki-laki adalah sama.2N2/31/3

Pertimbangkan keluarga pertama itu . Mari kita beralasan dalam hal harapan, memahami bahwa hasil aktual akan acak dan karena itu akan sedikit berbeda dari harapan. (Gagasan di balik analisis berikut ini disampaikan lebih singkat dan sederhana dalam jawaban asli yang muncul di bagian paling akhir tulisan ini.)N

Misalkan adalah jumlah kelahiran wanita yang diharapkan dalam populasi dengan probabilitas kelahiran wanita konstan . Jelas ini sebanding dengan dan dapat ditulis . Demikian pula, misalkan menjadi jumlah yang diharapkan dari kelahiran pria.f(N,p)NpNf(N,p)=f(p)Nm(p)N

  • Keluarga pertama menghasilkan seorang gadis dan berhenti. Keluarga lainnya menghasilkan anak laki-laki dan terus melahirkan anak. Itu perempuan dan laki-laki sejauh ini.pN(1p)NpN(1p)N

  • Sisa keluarga berada di posisi yang sama seperti sebelumnya:(1p)N asumsi independensi (3) menyiratkan bahwa apa yang mereka alami di masa depan tidak terpengaruh oleh kenyataan bahwa anak sulung mereka adalah seorang putra. Jadi, keluarga-keluarga ini akan menghasilkan lebih banyak anak perempuan dan lebih banyak anak laki-laki.f(p)[(1p)N]m(p)[(1p)N]

Menambahkan total perempuan dan laki-laki total dan membandingkan dengan nilai yang diasumsikan mereka dari dan memberikan persamaanf(p)Nm(p)N

f(p)N=pN+f(p)(1p)N  and  m(p)N=(1p)N+m(p)(1p)N

dengan solusi

f(p)=1  and  m(p)=1p1.

Jumlah anak perempuan yang diharapkan dalam keluarga pertama , dengan , oleh karena itu adalah dan jumlah anak laki-laki yang diharapkan adalah .Np=2/3f(2/3)N=Nm(2/3)N=N/2

Jumlah anak perempuan yang diharapkan dalam keluarga kedua , dengan , oleh karena itu adalah dan jumlah anak laki-laki yang diharapkan adalah .Np=1/3f(1/3)N=Nm(1/3)N=2N

Totalnya adalah perempuan dan laki-laki. Untuk besar , rasio yang diharapkan akan mendekati rasio harapan,(1+1)N=2N(1/2+2)N=(5/2)NN

E(# girls# boys)2N(5/2)N=45.

Aturan berhenti menguntungkan anak laki-laki!

Secara lebih umum, dengan setengah keluarga yang mengandung anak perempuan secara mandiri dengan probabilitas dan separuh lainnya yang mengandung anak laki-laki secara mandiri dengan probabilitas , kondisi (1) sampai (3) terus berlaku dan rasio yang diharapkan untuk pendekatan besarp1pN

2p(1p)12p(1p).

Bergantung pada , yang tentu saja berada di antara dan , nilai ini bisa berada di antara dan (tetapi tidak pernah lebih besar dari ). Ini mencapai maksimum hanya ketika . Dengan kata lain, rasio gadis: anak laki-laki 1: 1 adalah pengecualian khusus untuk aturan yang lebih umum dan realistis yang berhenti dengan gadis pertama lebih disukai anak laki-laki dalam populasi.p010111p=1/2

Resolusi

Jika intuisi Anda adalah berhenti dengan gadis pertama harus menghasilkan lebih banyak anak laki-laki dalam populasi, maka Anda benar, seperti yang ditunjukkan contoh ini. Agar benar semua yang Anda butuhkan adalah kemungkinan melahirkan seorang anak perempuan bervariasi (bahkan hanya sedikit) di antara keluarga.

Jawaban "resmi", bahwa rasionya harus mendekati 1: 1, memerlukan beberapa asumsi yang tidak realistis dan peka terhadapnya: itu mengandaikan tidak ada variasi di antara keluarga dan semua kelahiran harus independen.

Komentar

Gagasan utama yang disorot oleh analisis ini adalah bahwa variasi dalam populasi memiliki konsekuensi penting. Kemandirian kelahiran - walaupun ini adalah asumsi penyederhanaan yang digunakan untuk setiap analisis dalam utas ini - tidak menyelesaikan paradoks, karena (tergantung pada asumsi lain) konsisten dengan jawaban resmi dan kebalikannya.

Namun, perlu diketahui bahwa untuk rasio yang diharapkan berangkat secara substansial dari 1: 1, kita perlu banyak variasi di antara dalam populasi. Jika semua adalah, katakanlah, antara 0,45 dan 0,55, maka efek variasi ini tidak akan terlalu terlihat. Mengatasi pertanyaan ini tentang apa sebenarnya dalam populasi manusia membutuhkan dataset yang cukup besar dan akurat. Seseorang mungkin menggunakan model campuran linier umum dan menguji untuk penyebaran berlebihan .pipipi

Jika kita mengganti jenis kelamin dengan beberapa ekspresi genetik lainnya, maka kita memperoleh penjelasan statistik sederhana tentang seleksi alam : aturan yang secara berbeda membatasi jumlah keturunan berdasarkan susunan genetik mereka secara sistematis dapat mengubah proporsi gen-gen tersebut pada generasi berikutnya. Ketika gen tidak terkait seks, bahkan efek kecil akan diperbanyak secara berganda melalui generasi-generasi berikutnya dan dapat dengan cepat menjadi sangat besar.


Jawaban asli

Setiap anak memiliki urutan kelahiran: anak sulung, anak kedua, dan sebagainya.

Dengan asumsi probabilitas yang sama untuk kelahiran laki-laki dan perempuan dan tidak ada korelasi di antara jenis kelamin, Lemah Hukum Jumlah Besar menegaskan akan ada dekat dengan rasio 1: 1 perempuan pertama untuk laki-laki. Untuk alasan yang sama akan ada perbandingan 1: 1 antara perempuan yang dilahirkan kedua dengan laki-laki, dan seterusnya. Karena rasio ini konstan 1: 1, rasio keseluruhan harus 1: 1 juga, terlepas dari apa frekuensi relatif dari urutan kelahiran ternyata dalam populasi.

whuber
sumber
Menarik; ini tampaknya karena meskipun tidak ada aturan yang dapat mengubah rasio dari rasio alami, tetapi dapat mengubah jumlah anak yang dihasilkan dan jumlah anak tergantung pada rasio alami. Jadi, dalam contoh Anda, Anda memiliki dua populasi orang tua dan mereka terpengaruh secara berbeda. (Yang mengatakan ini terasa seperti situasi di luar ruang lingkup negara fiksi tersirat yang lebih merupakan latihan matematika)
Richard Tingle
@ Richard Mungkin rasanya hanya karena, demi eksposisi, saya terlalu disederhanakan. Pada kenyataannya seseorang akan memodelkan populasi dengan distribusi memiliki rata-rata . Kecuali jika varians dari distribusi itu nol, analisis yang sama menyiratkan kesimpulan yang sama, termasuk bahwa rasio gadis: laki-laki yang diharapkan akan benar-benar kurang dari . Ini menunjukkan bahwa kesimpulan populer (bahwa rasio harus 1: 1) sangat tergantung pada asumsi tanpa variasi. Saya tidak akan meminta maaf karena menggunakan matematika untuk alasan tentang ini, yang tidak mengurangi minat hasilnya. pi1/21
whuber
1
Anda juga tidak perlu meminta maaf, ini adalah hasil yang sangat menarik (saya benar-benar berpikir wow ketika saya membacanya). Saya lebih suka dalam bentuk "Hasil asli", "Situasi yang lebih realistis". Cara ditulisnya rasanya seperti curang (yang tidak adil karena seperti yang saya katakan itu sangat menarik) karena saya bisa dengan mudah mengatakan "Yah jelas itu bukan 1: 1 karena kelahiran laki-laki lebih umum" (Saya percaya karena penyewa sejarah kita untuk mati dalam konflik bersenjata)
Richard Tingle
@ Richard Itu poin yang bagus. Saya menahan diri untuk tidak membahas versi pertanyaan yang lebih realistis, seperti mengubah rata-rata menjadi sekitar (yang tidak terkait dengan pertempuran bersenjata, ngomong-ngomong: ia memiliki penjelasan biologis), karena jabatan itu terlalu panjang karena pertanyaannya. adalah dan harus jelas bagaimana menggeneralisasikan metodenya untuk kasus itu. Saya lebih suka untuk tetap fokus pada penyelesaian paradoks, yang menemukan mekanisme alami (tapi mungkin diabaikan) yang mengklarifikasi dan menjelaskan konflik yang tampak antara beberapa jawaban yang tampaknya valid. 0,51pi0.51
whuber
@whuber Terima kasih atas jawaban yang informatif. Saya tidak mengerti mengapa dalam perhitungan Anda, Anda membagi populasi menjadi 2 keluarga dengan kemungkinan melahirkan anak perempuan yang berbeda. Menurut poin 1 dari asumsi model Anda, p_i harus sama untuk semua keluarga. Jadi, mengapa Anda membagi populasi menjadi 2 jenis keluarga?
Mobius Pizza
14

Kelahiran setiap anak adalah peristiwa independen dengan P = 0,5 untuk anak laki-laki dan P = 0,5 untuk anak perempuan. Perincian lainnya (seperti keputusan keluarga) hanya mengalihkan perhatian Anda dari fakta ini. Maka jawabannya adalah bahwa rasionya adalah 1: 1 .

Untuk menguraikan ini: bayangkan bahwa alih-alih memiliki anak, Anda membalik koin yang adil (P (kepala) = 0,5) sampai Anda mendapatkan "kepala". Katakanlah Keluarga A membalik koin dan mendapatkan urutan [ekor, ekor, kepala]. Kemudian Keluarga B membalik koin dan mendapatkan ekor. Sekarang, berapa probabilitas bahwa kepala berikutnya akan menjadi kepala? Masih 0,5 , karena itulah arti independen . Jika Anda melakukan ini dengan 1000 keluarga (yang berarti 1000 ekor muncul), jumlah total ekor yang diharapkan adalah 1000, karena setiap flip (peristiwa) sepenuhnya independen.

Beberapa hal tidak independen, seperti urutan dalam keluarga: probabilitas urutan [kepala, kepala] adalah 0, tidak sama dengan [ekor, ekor] (0,25). Tetapi karena pertanyaannya bukan tentang hal ini, itu tidak relevan.

Tim S.
sumber
3
Seperti yang dinyatakan, ini tidak benar. Jika jenis kelamin independen tanpa syarat , dalam jangka panjang akan ada banyak urutan gadis-gadis dalam kelahiran di antara keluarga seperti ada urutan laki-laki-laki. Ada banyak yang terakhir dan tidak pernah ada yang pertama. Ada bentuk kemandirian, tetapi tergantung pada urutan kelahiran.
whuber
1
@whuber Kami tidak ditanya berapa banyak urutan gadis-gadis. Hanya perbandingan antara perempuan dan laki-laki. Saya tidak menyatakan bahwa urutan kelahiran oleh seorang ibu adalah serangkaian peristiwa independen, seperti membalik koin. Hanya saja setiap kelahiran, secara individual, adalah peristiwa independen.
Tim S.
Anda harus lebih jelas tentang hal itu. Saya sebutkan urutan untuk menunjukkan kurangnya kemerdekaan, sehingga beban adalah pada Anda untuk menyatakan persis apa yang ketat arti "kemerdekaan" berlaku di sini.
whuber
@whuber Acara independen dengan cara membalik koin yang sama. Saya telah menjelaskan hal ini dalam jawaban saya.
Tim S.
3
@whuber urutan gadis-gadis muncul jika Anda menempatkan semua kelahiran dalam satu baris; setelah satu pasangan selesai masuk berikutnya dll
Richard Tingle
6

Bayangkan melemparkan koin yang adil sampai Anda mengamati kepala. Berapa ekor yang Anda lemparkan?

P(0 tails)=12,P(1 tail)=(12)2,P(2 tails)=(12)3,...

Jumlah ekor yang diharapkan mudah dihitung * menjadi 1.

Jumlah kepala selalu 1.

* jika ini tidak jelas bagi Anda, lihat 'garis besar bukti' di sini

Glen_b
sumber
6

Pasangan dengan tepat satu perempuan dan tanpa laki-laki adalah yang paling umum

Alasan semua ini berhasil adalah karena probabilitas dari satu skenario di mana ada lebih banyak anak perempuan jauh lebih besar daripada skenario di mana ada lebih banyak anak laki-laki. Dan skenario di mana ada lebih banyak anak laki-laki memiliki probabilitas sangat rendah. Cara kerjanya yang spesifik digambarkan di bawah ini

NumberOfChilden Probability  Girls   Boys  
1               0.5           1       0  
2               0.25          1       1  
3               0.125         1       2  
4               0.0625        1       3  
...             ...           ...     ...  

NumberOfChilden Probability   Girls*probabilty   Boys*probabilty 
1               0.5           0.5                0
2               0.25          0.25               0.25
3               0.125         0.125              0.25
4               0.0625        0.0625             0.1875
5               0.03125       0.03125            0.125
...             ...           ...                ...  
n               1/2^n         1/(2^n)            (n-1)/(2^n)

Anda bisa melihat ke mana arahnya pada titik ini, jumlah anak perempuan dan laki-laki akan bertambah menjadi satu.

Gadis yang diharapkan dari satu pasangan Anak laki-laki yang diharapkan dari satu pasangan=n=1(12n)=1
=n=1(n1n2)=1

Batasi solusi dari wolfram

Kelahiran apa pun, apa pun keluarga itu, memiliki peluang 50:50 menjadi anak laki-laki atau perempuan

Ini semua masuk akal secara intrinsik karena (cobalah seperti pasangan mungkin) Anda tidak dapat mengontrol kemungkinan kelahiran tertentu menjadi laki-laki atau perempuan. Tidak masalah apakah seorang anak dilahirkan dari pasangan tanpa anak atau keluarga dari seratus anak laki-laki; kesempatannya adalah 50:50 jadi jika setiap kelahiran memiliki peluang 50:50 maka Anda harus selalu mendapatkan setengah anak laki-laki dan setengah perempuan. Dan tidak masalah bagaimana Anda mengocok kelahiran di antara keluarga; Anda tidak akan memengaruhi itu.

Ini berfungsi untuk 1 aturan apa pun

Karena karena peluang 50:50 untuk kelahiran apa pun, rasio akan berakhir sebagai 1: 1 untuk aturan (wajar 1 ) yang dapat Anda buat. Misalnya aturan serupa di bawah ini juga berlaku

Pasangan berhenti memiliki anak ketika mereka memiliki anak perempuan, atau memiliki dua anak

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
1               0.5           1       0
2               0.25          1       1
2               0.25          0       2

Dalam hal ini total anak yang diharapkan lebih mudah dihitung

Anak perempuan yang diharapkan dari satu pasangan Anak laki-laki yang diharapkan dari satu pasangan=0.51+0.251=0.75
=0.251+0.252=0.75

1 Seperti yang saya katakan ini berfungsi untuk aturan yang masuk akal yang bisa ada di dunia nyata. Aturan yang tidak masuk akal adalah aturan di mana anak-anak yang diharapkan per pasangan tidak terbatas. Misalnya "Orang tua hanya berhenti memiliki anak ketika mereka memiliki anak laki-laki dua kali lebih banyak daripada anak perempuan", kita dapat menggunakan teknik yang sama seperti di atas untuk menunjukkan bahwa aturan ini memberi anak tanpa batas:

NumberOfChilden Probability   Girls   Boys
3               0.125         1       2
6               1/64          2       4
9               1/512         3       6
3*m             1/((3m)^2     m       2m

Kita kemudian dapat menemukan jumlah orang tua dengan jumlah anak yang terbatas

Jumlah orangtua yang diharapkan dengan anak-anak hingga=m=1(11/(3m)2)=π254=0.18277.

Batasi solusi dari wolfram

Maka dari itu kita dapat menetapkan bahwa 82% orang tua akan memiliki jumlah anak yang tak terbatas; dari sudut pandang perencanaan kota ini mungkin akan menyebabkan kesulitan dan menunjukkan bahwa kondisi ini tidak bisa ada di dunia nyata.

Richard Tingle
sumber
3
Bahwa kelahiran tidak independen terbukti dengan memeriksa urutan kelahiran: urutan gadis-gadis tidak pernah muncul sementara urutan laki-laki sering terjadi.
whuber
1
@whuber saya mengerti maksud Anda (walaupun bisa dibilang itu adalah keputusan untuk memiliki anak yang tergantung, daripada hasil dari acara itu sendiri) mungkin akan lebih baik untuk mengatakan "kemungkinan kelahiran di masa depan untuk menjadi anak laki-laki adalah mandiri. dari semua kelahiran sebelumnya "
Richard Tingle
Ya, saya pikir ada cara untuk menyelamatkan penggunaan kemerdekaan di sini. Tapi ini menjadi - saya pikir - menjadi inti permasalahan, sehingga tampaknya untuk menghormati permintaan OP untuk demonstrasi "keras" (keras?) Diperlukan beberapa pertimbangan yang cermat tentang masalah ini.
whuber
@whuber Sejujurnya bahwa paragraf pertama adalah bit yang mudah ditebak, paragraf selanjutnya (dan khususnya batasannya) seharusnya menjadi bit yang keras
Richard Tingle
Tidak ada argumen di sana - tetapi materi terakhir telah dibahas dengan cara yang sama dalam jawaban di stats.stackexchange.com/a/93833 , stats.stackexchange.com/a/93835 , dan stats.stackexchange.com/a/93841 .
whuber
5

Anda juga dapat menggunakan simulasi:

p<-0
for (i in 1:10000){
  a<-0
  while(a != 1){   #Stops when having a girl
    a<-as.numeric(rbinom(1, 1, 0.5))   #Simulation of a new birth with probability 0.5
    p=p+1   #Number of births
  }
}
(p-10000)/10000   #Ratio
Aghila
sumber
1
Hasil simulasi bagus karena dapat memberi kita kenyamanan kita belum membuat kesalahan serius dalam derivasi matematika, tetapi mereka jauh dari demonstrasi ketat yang diminta. Secara khusus, ketika peristiwa langka yang berkontribusi banyak pada harapan dapat terjadi (seperti keluarga dengan 20 anak laki-laki sebelum seorang gadis muncul - yang sangat tidak mungkin muncul dalam simulasi hanya 10.000 keluarga), maka simulasi dapat menjadi tidak stabil atau meski salah, tidak peduli berapa lama mereka diulang.
whuber
Mengenali distribusi geometris # anak laki-laki dalam keluarga adalah langkah kunci untuk masalah ini. Coba:mean(rgeom(10000, 0.5))
AdamO
5

Memetakan hal ini membantu saya melihat dengan lebih baik bagaimana rasio populasi kelahiran (diasumsikan 1: 1) dan rasio populasi anak-anak keduanya 1: 1. Sementara beberapa keluarga akan memiliki banyak anak laki-laki tetapi hanya satu anak perempuan, yang awalnya membuat saya berpikir akan ada lebih banyak anak laki-laki daripada anak perempuan, jumlah keluarga tersebut tidak akan lebih besar dari 50% dan akan berkurang setengahnya dengan setiap anak tambahan, sementara jumlah keluarga dengan satu anak perempuan akan menjadi 50%. Jumlah anak laki-laki dan perempuan akan saling menyeimbangkan. Lihat total 175 di bagian bawah. Rasio anak-anak

Lowe Rudd
sumber
2

Apa yang Anda dapatkan adalah yang paling sederhana, dan jawaban yang benar. Jika probabilitas anak yang baru lahir menjadi anak laki-laki adalah p, dan anak-anak dari jenis kelamin yang salah tidak dipenuhi oleh kecelakaan yang tidak menguntungkan, maka tidak masalah jika orang tua membuat keputusan tentang memiliki lebih banyak anak berdasarkan jenis kelamin anak. Jika jumlah anak adalah N dan N besar, Anda dapat mengharapkan tentang p * N anak laki-laki. Tidak perlu perhitungan yang lebih rumit.

Tentu saja ada pertanyaan lain, seperti "berapa probabilitas bahwa anak bungsu dari sebuah keluarga dengan anak-anak adalah laki-laki", atau "berapa probabilitas bahwa anak tertua dari keluarga dengan anak-anak adalah laki-laki". (Salah satu dari ini memiliki jawaban yang benar sederhana, yang lain memiliki jawaban salah yang sederhana dan sulit mendapatkan jawaban yang benar).

gnasher729
sumber
2

Membiarkan

Ω={(G),(B,G),(B,B,G),}

menjadi ruang sampel dan biarkan

X: ΩRω|ω|-1

menjadi variabel acak yang memetakan setiap hasil, , ke jumlah anak laki-laki yang terlibat. Nilai yang diharapkan dari anak laki-laki, , turun ke ωE(X)

E(X)=n=1(n-1)0.5n=1 ,

Secara sepele, nilai yang diharapkan dari anak perempuan adalah 1. Jadi rasionya juga 1.

pengguna3451767
sumber
2

Ini pertanyaan jebakan. Rasio tetap sama (1: 1). Jawaban yang benar adalah tidak mempengaruhi rasio kelahiran, tetapi mempengaruhi jumlah anak per keluarga dengan faktor pembatas rata-rata 2 kelahiran per keluarga.

Ini adalah jenis pertanyaan yang mungkin Anda temukan pada tes logika. Jawabannya bukan tentang rasio kelahiran. Itu gangguan.

Ini bukan pertanyaan probabilitas, tetapi pertanyaan penalaran kognitif. Bahkan jika Anda menjawab rasio 1: 1, Anda masih gagal dalam tes.

Andrew - OpenGeoCode
sumber
Baru-baru ini saya mengedit jawaban saya untuk menunjukkan bahwa solusinya belum tentu 1: 1, yang secara eksplisit menentang pernyataan Anda.
whuber
Saya membaca jawaban Anda. Anda telah memperkenalkan predikat yang tidak disebutkan dalam masalah (perbedaan dalam tingkat kelahiran wanita). Tidak ada dalam masalah yang menegaskan Republik Zorgan adalah perwakilan dari populasi manusia atau bahkan manusia.
Andrew - OpenGeoCode
1
Itu benar - tetapi sama baiknya tidak ada yang membenarkan asumsi yang terlalu disederhanakan bahwa semua probabilitas kelahiran adalah sama. Asumsi harus dibuat untuk memberikan jawaban yang obyektif dan dapat dipertahankan sehingga minimal jawaban yang baik akan eksplisit tentang asumsi yang dibuatnya dan memberikan dukungan untuk asumsi tersebut. Mengklaim "ini bukan pertanyaan probabilitas" tidak mengatasi masalah, tetapi mengabaikannya sepenuhnya.
whuber
@whuber - Rasio kelahiran dalam masalah ini adalah invarian. Varian dalam masalah ini adalah jumlah kelahiran per keluarga. Pertanyaannya adalah gangguan, itu bukan bagian dari masalah. <br/> Berpikir lateral, adalah kemampuan untuk berpikir secara kreatif, atau "di luar kotak" seperti yang kadang-kadang disebut dalam bisnis, untuk menggunakan inspirasi dan imajinasi Anda untuk menyelesaikan masalah dengan melihatnya dari sudut pandang yang tidak terduga. Berpikir lateral melibatkan membuang yang sudah jelas, meninggalkan cara berpikir tradisional, dan membuang prasangka. [fyi> Saya adalah ilmuwan utama di Lab]
Andrew - OpenGeoCode
1
Anda mungkin, kemudian, telah mengabaikan poin kunci dalam jawaban saya: asumsi ini juga menjaga peluang populasi rata-rata dari invarian kelahiran wanita pada 1: 1 (dengan cara tertentu yang saya harap dengan jelas dijelaskan). Saya akan mempertahankan ada "pemikiran lateral" yang substansial yang terlibat dalam setiap resolusi paradoks di mana asumsi diperiksa secara kritis: itu memerlukan imajinasi dan keterampilan analitis yang baik untuk melihat bahwa seseorang membuat asumsi di tempat pertama. Mengabaikan pertanyaan apa pun hanya sebagai "trik", seperti yang Anda lakukan di sini, akan tampak berlawanan dengan promosi atau perayaan pemikiran semacam itu.
whuber
2

Saya menunjukkan kode yang saya tulis untuk simulasi Monte Carlo (500x1000 keluarga) menggunakan perangkat lunak `MATLAB '. Tolong cermati kodenya sehingga saya tidak melakukan kesalahan.

Hasilnya dihasilkan dan diplot di bawah ini. Ini menunjukkan probabilitas kelahiran anak perempuan yang disimulasikan memiliki perjanjian yang sangat baik dengan probabilitas kelahiran alami yang mendasari terlepas dari aturan penghentian untuk berbagai probabilitas kelahiran alami.

masukkan deskripsi gambar di sini

Bermain-main dengan kode itu lebih mudah untuk memahami satu hal yang saya tidak cukup lakukan sebelumnya --- seperti yang ditunjukkan orang lain, aturan penghentian adalah gangguan. Aturan penghentian hanya mempengaruhi jumlah keluarga yang diberikan populasi tetap, atau dari sudut pandang lain jumlah kelahiran anak yang diberikan jumlah keluarga tetap. Jenis kelamin semata-mata ditentukan oleh dadu roll dan karenanya rasio atau probabilitas (yang tidak tergantung pada jumlah anak) semata-mata akan tergantung pada anak laki-laki alami: rato kelahiran anak perempuan.

testRange=0.45:0.01:0.55;
N=uint32(100000); %Used to approximate probability distribution
M=1000; %Number of families
L=500; %Monte Carlo repetitions
Nfamily=zeros(length(testRange),1);
boys=zeros(length(testRange),1);
girls=zeros(length(testRange),1);
for l = 1:L
    j=1; %Index variable for the different bgratio
    for bgratio=testRange
    k=1; %Index variable for family in each run (temp family id)
    vec=zeros(N,1);
    vec(1:N*bgratio,1)=1; %Approximate boy:girl population for dice roll, 
    %1 = boy

    vec=vec(randperm(s,N)); %Random permutation, technically not necessary 
    %due to randi used later, just be safe
    bog = vec(randi(N)); %boy or girl? (God's dice roll)

    while k<M %For M families...
        if bog == 1 %if boy:
            boys(j) = boys(j)+1; %total global boys tally
        else
            girls(j)=girls(j)+1; %total global girls tally
            %Family stops bearing children
            Nfamily(j) = Nfamily(j)+1; %total global family tally
            k=k+1; %temp family id
            %Next family...
        end
        bog=vec(randi(N)); %Sample next gender (God's dice roll)
    end

    j=j+1; %Index variable for the different bgratio
    end
end
figure;
scatter(testRange,girls./(boys+girls))
hold on
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.44 0.56 0.44 0.56])
Pizza Mobius
sumber
2

Biarkan variabel acak yang menunjukkan anak di negara menjadi mengambil nilai 1 dan 0 jika masing-masing anak laki-laki atau perempuan. Asumsikan bahwa probabilitas marjinal bahwa setiap kelahiran adalah laki-laki atau perempuan adalah .ithXi0.5

Jumlah anak laki-laki di negara yang diharapkan = (di mana adalah jumlah anak di negara itu.)E[iXi]=iE[Xi]=0.5nn

Demikian pula jumlah gadis yang diharapkan = .E[i(1Xi)]=iE[1Xi]=0.5n

Kemandirian kelahiran tidak relevan untuk perhitungan nilai yang diharapkan.


Jawaban Apropos @ whuber, jika ada variasi probabilitas marginal di seluruh keluarga, rasio menjadi condong ke arah anak laki-laki, karena ada lebih banyak anak dalam keluarga dengan probabilitas anak laki-laki lebih tinggi daripada keluarga dengan probabilitas lebih rendah, sehingga memiliki efek augmentatif dari jumlah nilai yang diharapkan untuk anak laki-laki.

Innuo
sumber
2

Saya secara mandiri juga memprogram simulasi di matlab, sebelum melihat apa yang dilakukan orang lain. Sebenarnya ini bukan MC karena saya hanya menjalankan percobaan sekali. Tetapi sekali sudah cukup untuk mendapatkan hasil. Inilah hasil simulasi saya. Saya tidak mengambil pendirian tentang kemungkinan kelahiran p = 0,5 sebagai primitif. Saya membiarkan probabilitas kelahiran bervariasi pada rentang Pr (Anak Laki-Laki = 1) = 0,25: 0,05: 0,75.

Hasil saya menunjukkan bahwa ketika probabilitas menyimpang dari p = 0,5, rasio jenis kelamin berbeda dari 1: dalam harapan rasio jenis kelamin hanyalah rasio probabilitas kelahiran anak laki-laki dengan probabilitas kelahiran anak perempuan. Yaitu, ini adalah variabel acak geometris seperti yang diidentifikasi sebelumnya oleh @ månst. Ini adalah apa yang saya percaya poster asli itu intuitif.

Hasil saya sangat mirip dengan apa yang telah dilakukan poster di atas dengan kode matlab, sesuai dengan rasio jenis kelamin pada probabilitas 0,45, 0,50, dan 0,55 bahwa seorang anak laki-laki dilahirkan. Saya mempresentasikan milik saya karena saya mengambil pendekatan yang sedikit berbeda untuk mendapatkan hasil dengan kode yang lebih cepat. Untuk menyelesaikan perbandingan, saya menghapus bagian kode vec = vec (randperm (s, N)) karena s tidak didefinisikan dalam kode mereka dan saya tidak tahu maksud asli dari variabel ini (bagian kode ini juga tampaknya berlebihan - seperti aslinya dinyatakan).

Saya memposting kode saya

clear all; rng('default')

prob_of_boy = 0.25:0.05:0.75;
prob_of_girls = 1 - prob_of_boy;

iterations = 200;

sex_ratio = zeros(length(prob_of_boy),1);
prob_of_girl_est = zeros(length(prob_of_boy),1);
rounds_of_reproduction = zeros(length(prob_of_boy),1);

for p=1:length(prob_of_boy)

    pop = 1000000;

    boys = zeros(iterations,1);
    girls = zeros(iterations,1);
    prob_of_girl = zeros(iterations,1);

    for i=1:iterations

        x = rand(pop,1);
        x(x<prob_of_boy(p))=1;

        %count the number of boys and girls
        num_boys = sum(x(x==1));

        boys(i) = num_boys;
        girls(i) = pop - num_boys;

        prob_of_girl(i) = girls(i)/(pop);

        %Only families that had a boy continue to reproduce
        x = x(x==1);

        %new population of reproducing parents
        pop = length(x);

        %check that there are no more boys 
        if num_boys==0

            boys(i+1:end)=[];
            girls(i+1:end)=[];
            prob_of_girl(i+1:end)=[];
            break

        end
    end

    prob_of_girl_est(p) = mean(prob_of_girl(prob_of_girl~=0));
    sex_ratio(p) = sum(boys)/sum(girls);
    rounds_of_reproduction(p) = length(boys);
end

scatter(prob_of_girls,prob_of_girl_est)
hold on
title('Est. vs. True Probability of a Girl Birth')
ylabel('Est. Probability of Girl Birth')
xlabel('True Probability of Girl Birth')
line([0 1],[0 1],'LineStyle','--','Color','k')
axis([0.2 0.8 0.2 0.8])

scatter(prob_of_girls,sex_ratio)
hold on
title('Sex Ratio as a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Sex Ratio: $\frac{E(Boys)}{E(Girls)}$','interpreter','latex')

scatter(prob_of_girls,rounds_of_reproduction)
hold on
title('Rounds of Reproduction a function of Girls')
xlabel('Probability of Girls Birth')
ylabel('Rounds of Reproduction')

Grafik berikut ini diharapkan diberikan hukum kuat jumlah besar. Saya mereproduksinya, tetapi grafik yang penting adalah grafik kedua.

masukkan deskripsi gambar di sini

Di sini, probabilitas populasi selain 0,5 untuk kelahiran jenis kelamin anak akan mengubah rasio jenis kelamin dalam populasi keseluruhan. Dengan asumsi bahwa kelahiran adalah independen (tetapi bukan pilihan untuk terus bereproduksi), dalam setiap putaran reproduksi bersyarat probabilitas populasi mengatur keseluruhan hasil dari kelahiran anak laki-laki dan perempuan. Jadi seperti yang telah disebutkan orang lain, aturan penghentian dalam masalah tidak berpengaruh pada hasil populasi, seperti dijawab oleh poster yang mengidentifikasi ini sebagai distribusi geometris.

masukkan deskripsi gambar di sini

Untuk kelengkapan, apa yang diberlakukan aturan pemberhentian adalah jumlah putaran reproduksi dalam populasi. Karena saya hanya menjalankan eksperimen satu kali, grafiknya agak bergerigi. Tetapi intuisi ada di sana: untuk ukuran populasi tertentu, ketika probabilitas kelahiran anak perempuan meningkat, kita melihat bahwa keluarga membutuhkan lebih sedikit putaran reproduksi untuk mendapatkan gadis yang diinginkan sebelum seluruh populasi berhenti bereproduksi (jelas jumlah putaran akan tergantung pada ukuran populasi, karena secara mekanis meningkatkan kemungkinan bahwa suatu keluarga akan memiliki, misalnya, 49 anak laki-laki sebelum mereka mendapatkan anak perempuan pertama mereka)

masukkan deskripsi gambar di sini

Perbandingan antara rasio jenis kelamin saya yang dihitung:

[sex_ratio' prob_of_boy']

0.3327    0.2500
0.4289    0.3000
0.5385    0.3500
0.6673    0.4000
0.8186    0.4500
1.0008    0.5000
1.2224    0.5500
1.5016    0.6000
1.8574    0.6500
2.3319    0.7000
2.9995    0.7500

dan orang-orang dari poster sebelumnya dengan kode matlab:

[boys./girls testRange']

0.8199    0.4500
0.8494    0.4600
0.8871    0.4700
0.9257    0.4800
0.9590    0.4900
1.0016    0.5000
1.0374    0.5100
1.0836    0.5200
1.1273    0.5300
1.1750    0.5400
1.2215    0.5500

Mereka adalah hasil yang setara.

Alberto Ramírez
sumber
1

Itu tergantung jumlah keluarga.

Misalkan adalah jumlah anak dalam keluarga, itu adalah variabel acak geometris dengan , yaitu yang menyiratkanXp=0.5

P(X=x)=0.5x,x=1,2,3...
E(X)=2

Misalkan ada keluarga di negara ini, rasio gadis adalah N

NXi

Karena (hukum jumlah besar), rasio akan mencakup 1/2 jika .Xi/NE(X)=2N

Jika hanya ada keluarga terbatas, misalkan adalah jumlah total anak-anak di negara ini: , maka memiliki distribusi binomial negatif dengan pmf TT=XiT

P(T=t)=CN1t10.5t,t=N,N+1...

Ini menyiratkan mana adalah fungsi hypergeometric.2F1

E[NXi]=E[NT]=t=NNtCN1t10.5t=2F1(N,1,N+1,1)
2F1

Karenanya rasio gadis yang diharapkan adalah .2F1(N,1,N+1,1)

Randy Lai
sumber