Mengapa semua distribusi dikenal unimodal?

Saya tidak tahu distribusi multimoda.

Mengapa semua distribusi dikenal unimodal? Apakah ada distribusi "terkenal" yang memiliki lebih dari satu mode?

Tentu saja, campuran distribusi seringkali multimodal, tetapi saya ingin tahu apakah ada distribusi "non-campuran" yang memiliki lebih dari satu mode.

Bagian pertama dari pertanyaan dijawab dalam komentar untuk pertanyaan: banyak "merek-nama" distribusi adalah multimodal, seperti setiap Beta $(a,b)$ distribusi dengan $a\lt 1$ dan $b\lt 1$ . Mari kita beralih ke bagian kedua dari pertanyaan.

Semua distribusi diskrit adalah campuran jelas (dari atom, yang unimodal).

Saya akan menunjukkan bahwa sebagian besar distribusi kontinu juga merupakan campuran dari distribusi unimodal. Intuisi di balik ini sederhana: kita dapat "mengampelas" benjolan dari grafik bergelombang dari PDF, satu per satu, sampai grafik horizontal. Benjolan menjadi komponen campuran, yang masing-masing jelas unimodal.

Akibatnya, kecuali mungkin untuk beberapa distribusi tidak biasa yang PDFnya sangat terputus-putus, jawaban atas pertanyaannya adalah "tidak ada": semua distribusi multimodal yang benar-benar kontinu, diskrit, atau kombinasi keduanya adalah campuran dari distribusi unimodal.

Pertimbangkan distribusi kontinu yang PDF f kontinu (ini adalah "benar-benar berkelanjutan" distribusi). (Kontinuitas tidak banyak batasan; ia dapat dilonggarkan lebih lanjut dengan analisis yang lebih hati-hati, dengan hanya menganggap bahwa titik diskontinuitas itu terpisah.) $F$$f$

Untuk mengatasi "dataran tinggi" dari nilai konstan yang mungkin terjadi, tentukan "mode" menjadi interval (yang mungkin merupakan titik tunggal di mana x l = x u ) sedemikian rupa sehingga$m = [x_l, x_u]$$x_l=x_u$

1. memiliki nilai konstan pada m , katakanlah y .$f$$m,$$y$

2. tidak konstan pada interval apa pun yang secara ketat mengandung m .$f$$m$

3. Ada angka positif sehingga nilai maksimum f yang diperoleh pada [ x l - ϵ , x u + ϵ ] sama dengan y .$\epsilon$$f$$[x_l-\epsilon, x_u+\epsilon]$$y$

Biarkan menjadi mode apa pun dari f . Karena f adalah kontinu, terdapat interval [ x ′ l , x ′ u ] yang mengandung m yang mana f tidak bertambah dalam [ x ′ l , x l ] (yang merupakan interval yang tepat, bukan hanya titik) dan tidak bertambah dalam [ x kamu , x ′ kamu$m = [x_l, x_u]$$f$$f$$[x_l^\prime, x_u^\prime]$$m$$f$$[x_l^\prime, x_l]$$[x_u, x_u^\prime]$(yang juga merupakan interval yang tepat). Biarkan menjadi tak terhingga dari semua nilai tersebut dan x ′ u supremum dari semua nilai tersebut.$x_l^\prime$$x_u^\prime$

Konstruksi ini telah menetapkan satu "punuk" pada grafik memanjang dari x ′ l ke x ′ u . Biarkan y menjadi lebih besar dari f ( x ′ l ) dan f ( x ′ u ) . Dengan konstruksi, himpunan titik x dalam [ x ′ l , x ′ u ] yang f ( x ) ≥ y adalah interval yang tepat m $f$$x_l^\prime$$x_u^\prime$$y$$f(x_l^\prime)$$f(x_u^\prime)$$x$$[x_l^\prime, x_u^\prime]$$f(x)\ge y$$m^\prime$secara ketat mengandung (karena mengandung seluruh [ x ′ l , x l ] atau [ x u , x ′ u ] ).$m$$[x_l^\prime, x_l]$$[x_u, x_u^\prime]$

Dalam ilustrasi PDF multimoda ini, mode diidentifikasi oleh titik merah pada sumbu horizontal. Tingkat horizontal dari bagian merah dari fill adalah interval m ′ : itu adalah dasar punuk yang ditentukan oleh mode m . Basis punuk itu berada di ketinggian y ≈ 0,16 . PDF asli adalah jumlah dari isian merah dan isian biru. Perhatikan bahwa isian biru hanya memiliki satu mode di dekat 2 ; mode asli pada [ 0 , 0 ] telah dihapus.$m=[0,0]$$m^\prime$$m$$y\approx 0.16$$2$$[0,0]$

Menulis untuk panjang m ′ , tentukan$|m^\prime|$$m^\prime$

dan

ketika dan f m ( x ) = 0 sebaliknya. (Ini menjadikan f m fungsi kontinu, secara kebetulan.) Pembilangnya adalah jumlah dimana f naik di atas y dan penyebut p m adalah area antara grafik f dan y . Jadi f m adalah non-negatif dan memiliki luas total 1 : itu adalah PDF dari distribusi probabilitas. Oleh konstruksi itu memiliki mode unik m .$x \in m^\prime$$f_m(x)=0$$f_m$$f$$y$$p_m$$f$$y$$f_m$$1$$m$

Juga oleh konstruksi, fungsinya

adalah PDF yang disediakan . (Tentunya jika p m = 1 tidak ada yang tersisa dari f , yang pasti unimodal untuk memulai dengan.) Selain itu, ia tidak memiliki modus dalam interval m ' (di mana itu adalah konstan, yang mengapa definisi hati sebelumnya dari mode sebagai interval diperlukan). Selanjutnya,$p_m\lt 1$$p_m=1$$f,$$m^\prime$

adalah campuran dari unimodal PDF dan PDF f ' m .$f_m$$f_m^\prime$

Iterasi prosedur ini dengan (yang sebagai kombinasi linear fungsi kontinu masih merupakan fungsi kontinu, memungkinkan kita untuk melanjutkan seperti sebelumnya), menghasilkan urutan mode m = m 1 , m 2 , ... ; urutan bobot yang sesuai p 1 = p m , p 2 = p m 2 , … ; dan PDF f 1 = f m , f 2 = f m 2 , … $f_m^\prime$$m=m_1, m_2, \ldots$$p_1=p_m, p_2=p_{m_2}, \ldots$$f_1=f_m, f_2=f_{m_2}, \ldots.$ Hasil pembatas ada karena (a) interval di mana diratakan termasuk interval yang tepat yang belum diratakan dalam operasi i - 1 sebelumnya dan (b) bilangan real tidak dapat didekomposisi menjadi lebih dari jumlah interval yang dapat dihitung seperti itu. . Batas tidak dapat memiliki mode apa pun dan oleh karena itu konstan, yang harus nol (karena jika tidak, integralnya akan berbeda). Akibatnya, f telah dinyatakan (mungkin tidak unik, karena urutan mode yang dipilih akan penting) sebagai campuran$f_i$$i-1$$f$

distribusi unimodal, QED.

Dengan unimodal, saya pikir OP jelas berarti bahwa hanya ada satu mode interior (yaitu tidak termasuk solusi sudut). Pertanyaannya dengan demikian benar-benar bertanya ...

yaitu mengapa sebagian besar distribusi nama merek terlihat seperti ini:

... plus atau minus beberapa kemiringan atau beberapa ketidaksinambungan? Ketika pertanyaan diajukan demikian, distribusi Beta tidak akan menjadi contoh balasan yang valid.

Tampaknya dugaan OP memiliki beberapa validitas: distribusi nama merek paling umum tidak memungkinkan lebih dari satu mode interior. Mungkin ada alasan teoretis untuk ini. Misalnya, distribusi apa pun yang merupakan anggota keluarga Pearson (yang mencakup Beta) harus (interior) unimodal, sebagai konsekuensi dari persamaan diferensial orangtua yang mendefinisikan seluruh keluarga. Dan keluarga Pearson bersarang sebagian besar nama merek paling terkenal.

Namun demikian, berikut adalah beberapa contoh penghitung nama merek ...

Contoh penghitung

Salah satu contoh merek-nama adalah $\text{Sinc}^2$ distribusi dengan pdf:

didefinisikan pada garis nyata. Berikut ini adalah plot dari$\text{Sinc}^2$ pdf:

We could also perhaps add the family of cardiod and distributions related to this class ... with pdf plots such as:

Keluarga distribusi nama merek yang direfleksikan juga mungkin akan menjadi pesaing nama merek (meskipun, ini mungkin dianggap sebagai 'solusi curang' ... tetapi mereka masih merupakan nama merek) seperti Refleksi Weibull yang diperlihatkan di sini:

Bahwa Anda mungkin tidak memikirkan apa pun tidak berarti tidak ada.

Saya dapat memberi nama distribusi "dikenal" yang bukan unimodal.

Misalnya, distribusi Beta dengan $\alpha$ dan $\beta$ kedua $<1$.

http://en.wikipedia.org/wiki/Beta_distribution

lihat juga

http://en.wikipedia.org/wiki/U-quadratic_distribution

(Ini bukan kasus khusus dari distribusi beta, terlepas dari komentar yang mengatakan itu. Kedua keluarga memiliki beberapa tumpang tindih, namun.)

Distribusi campuran sudah pasti diketahui, dan banyak di antaranya bersifat multimodal.

Distribusi alfa-miring-normal (Elal-Olivero 2010) memiliki PDF:

dimana $\varphi$ adalah PDF dari Gaussian standar.

Untuk $|\alpha|>1.34$distribusinya adalah bimodal. Contoh plot untuk$\mu=1,\sigma=0.5,a=2$: