Penjelasan intuitif tentang kontribusi terhadap jumlah dari dua variabel acak yang terdistribusi normal

16

Jika saya memiliki dua variabel acak bebas terdistribusi normal X dan Y dengan rata-rata μX dan μY dan standar deviasi σX dan σY dan saya menemukan bahwa X+Y=c , maka (dengan asumsi saya tidak membuat kesalahan) distribusi kondisional dari X dan Y diberikan c juga terdistribusi normal dengan sarana μY| c=μY+(c-μX-μY)σ 2 Y

μX|c=μX+(cμXμY)σX2σX2+σY2
dan standar deviasi σX| c=σY| c=
μY|c=μY+(cμXμY)σY2σX2+σY2
σX|c=σY|c=σX2σY2σX2+σY2.

Tidak mengherankan bahwa standar deviasi bersyarat sama dengan, mengingat , jika satu naik maka yang lain harus turun dengan jumlah yang sama. Sangat menarik bahwa standar deviasi bersyarat tidak tergantung pada c .cc

Apa yang saya tidak bisa mengerti adalah cara bersyarat, di mana mereka mengambil bagian dari kelebihan proporsional dengan varian asli, bukan dengan standar deviasi standar. (cμXμY)

μX=μY=0σX=3σY=1c=4E[X|c=4]=3.6E[Y|c=4]=0.49:13:1

Ini diprovokasi oleh pertanyaan Math.SE

Henry
sumber

Jawaban:

16

μX=μY=0XμXYμY

XYg(x,y)=x+y=cf(x,y)=x2/(2σX2)+y2/(2σY2)=ρρλ

(xσX2,yσY2)=f(x,y)=λg(x,y)=λ(1,1).

masukkan deskripsi gambar di sini

Segera menyusul bahwa mode distribusi bersyarat (dan karena itu juga sarana) ditentukan oleh rasio varian, bukan SD.

XY

whuber
sumber
Itu sangat mengesankan, dan agak lebih lengkap daripada yang saya minta. Saya akan puas dengan diagram dan pernyataan bahwa garis singgung ke elips tidak melewati pusat elips, sehingga titik merah singgung harus mengambil lebih banyak secara tidak proporsional dari variabel acak dengan standar deviasi yang lebih tinggi.
Henry
1
Itu tidak baik. Yang saya maksudkan adalah garis dari pusat ke titik merah tidak tegak lurus dengan garis singgung.
Henry