Mengapa sebaran geometris dan sebaran hipergeometrik disebut demikian?

Ya, istilahnya merujuk pada fungsi massa probabilitas (pmfs).

2.500 tahun yang lalu, Euclid (dalam Buku VIII dan IV dari Unsur - Unsurnya ) mempelajari urutan panjang yang memiliki proporsi yang sama. . Pada beberapa titik sekuens semacam itu kemudian dikenal sebagai "perkembangan geometrik" (meskipun istilah "geometrik" bisa karena alasan yang sama dengan mudah telah diterapkan pada banyak seri reguler lainnya, termasuk yang sekarang disebut "aritmatika").

Fungsi massa probabilitas dari suatu distribusi geometrik dengan parameter membentuk suatu perkembangan geometrik $p$

p, p (1 - p), p (1 - p)^{2}, \dots, p (1 - p)^{n}, \dots .

$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$

Di sini proporsi yang umum adalah . $1-p$

Beberapa ratus tahun yang lalu generalisasi luas dari perkembangan seperti itu menjadi penting dalam studi kurva eliptik, persamaan diferensial, dan banyak bidang matematika yang saling terkait. Generalisasi mengandaikan bahwa proporsi relatif di antara istilah-istilah yang berurutan pada posisi dan dapat bervariasi, tetapi membatasi sifat variasi itu: proporsi harus merupakan fungsi rasional tertentu dari . Karena ini "melampaui" atau "melampaui" perkembangan geometris (yang fungsi rasionalnya konstan), mereka disebut hypergeometrik dari awalan Yunani kuno $k$ $k+1$ $k$ $\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$ ("hiper").

Fungsi massa probabilitas dari fungsi hypergeometrik dengan parameter dan memiliki bentuk $N, K,$ $n$

p (k) = \frac{(\binom{K}{k}) (\binom{N - K}{n - k})}{(\binom{N}{n})}

$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$

untuk cocok . Karena itu rasio probabilitas berturut-turut sama $k$

\frac{p (k + 1)}{p (k)} = \frac{(K - k) (n - k)}{(k + 1) (N - K - n + k + 1)},

$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$

fungsi rasional of degree $k$ . Ini menempatkan probabilitas ke (jenis tertentu) perkembangan hipergeometrik. $(2,2)$

whuber
sumber

Terima kasih! Apakah ada distribusi lain yang PMFsnya juga membentuk progresi geometris atau hypergeometrik?

Tim

Jika PMF membentuk progresi geometris maka harus merupakan distribusi geometri yang bergeser, diubah skala, dan / atau terpotong. Jika itu membentuk progresi derajat hipergeometrik (2,2) maka kesimpulan yang sama berlaku. Ada distribusi yang terkait dengan seri apa pun yang menjumlahkan nilai yang terbatas, sehingga distribusi hipergeometrik digeneralisasi ke banyak distribusi lain (dengan menggunakan fungsi rasional yang berbeda). Kebanyakan dari mereka tidak memiliki nama. Satu pengecualian adalah distribusi binomial negatif yang PMF-nya adalah hipergeometrik derajat (1,1).

whuber

Terima kasih! Apakah PMF distribusi Poisson membentuk beberapa seri / perkembangan khusus? Dengan distribusi Poission dengan parameter rate

, maka

. Apakah PMF membentuk beberapa seri khusus atau progresi?

λ

$\lambda$

p (k + 1) / p (k) = λ / (k + 1)

$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

Tim

Ya, itu adalah fungsi rasional derajat (0,1), sehingga sesuai dengan definisi umum dari perkembangan hipergeometrik.

whuber

Mengapa sebaran geometris dan sebaran hipergeometrik disebut demikian?

Jawaban: