Membandingkan varian pengamatan berpasangan

Saya memiliki pengamatan berpasangan ( , ) diambil dari distribusi yang tidak diketahui umum, yang memiliki momen pertama dan kedua terbatas, dan simetris di sekitar mean.$N$$X_i$$Y_i$

Biarkan deviasi standar (tanpa syarat pada ), dan sama untuk Y. Saya ingin menguji hipotesis $\sigma_X$$X$$Y$$\sigma_Y$

$H_0$ :$\sigma_X = \sigma_Y$

$H_1$ :$\sigma_X \neq \sigma_Y$

Adakah yang tahu tentang tes semacam itu? Saya dapat mengasumsikan dalam analisis pertama bahwa distribusinya normal, meskipun secara umum lebih menarik. Saya mencari solusi bentuk tertutup. Bootstrap selalu menjadi pilihan terakhir.

Anda dapat menggunakan fakta bahwa distribusi varians sampel adalah distribusi chi square yang berpusat pada varian sebenarnya. Di bawah hipotesis nol Anda, statistik pengujian Anda akan menjadi perbedaan dari dua varian acak kuadrat yang berpusat pada varian yang sama yang tidak diketahui. Saya tidak tahu apakah perbedaan dari dua varian acak chi-squared adalah distribusi yang dapat diidentifikasi tetapi di atas dapat membantu Anda sampai batas tertentu.

Jika Anda ingin turun rute non-parametrik Anda selalu dapat mencoba tes peringkat kuadrat.

Untuk kasus yang tidak berpasangan, asumsi untuk tes ini (diambil dari sini ) adalah:

1. Kedua sampel adalah sampel acak dari populasi masing-masing.
2. Selain independensi dalam setiap sampel, ada independensi timbal balik antara dua sampel.
3. Skala pengukuran setidaknya interval.

Catatan kuliah ini menjelaskan kasus yang tidak berpasangan secara rinci.

Untuk casing berpasangan, Anda harus sedikit mengubah prosedur ini. Di tengah jalan , halaman ini akan memberi Anda ide untuk memulai.

Yang paling Pendekatan naif saya bisa pikirkan adalah untuk mundur vs X i sebagai Y i ~ m X i + b , kemudian melakukan t -test pada hipotesis m = 1 . Lihat uji-t untuk kemiringan regresi .$Y_i$$X_i$$Y_i \sim \hat{m}X_i + \hat{b}$$t$$m = 1$

Pendekatan yang kurang naif adalah tes Morgan-Pitman. Biarkan kemudian lakukan uji koefisien Korelasi Pearson dari U i vs V i . (Orang dapat melakukan ini hanya menggunakan transformasi Fisher RZ , yang memberikan interval kepercayaan di sekitar koefisien Pearson sampel, atau melalui bootstrap.)$U_i = X_i - Y_i, V_i = X_i + Y_i,$$U_i$$V_i$

Jika Anda menggunakan R, dan tidak ingin harus mengkodekan semuanya sendiri, saya akan menggunakan bootdpcidari paket Robust Stats Wilcox, WRS. (lihat halaman Wilcox .)

Jika Anda dapat mengasumsikan normalitas bivariat, maka Anda dapat mengembangkan tes rasio kemungkinan membandingkan dua struktur matriks kovarian yang mungkin. Estimasi kemungkinan maksimum yang tidak dibatasi (H_a) telah diketahui dengan baik - hanya matriks kovarian sampel, yang dibatasi (H_0) dapat diturunkan dengan menuliskan kemungkinan (dan mungkin akan menjadi semacam perkiraan "dikumpulkan").

Jika Anda tidak ingin menurunkan rumus, Anda dapat menggunakan SAS atau R agar sesuai dengan model tindakan berulang dengan struktur kovarian simetri terstruktur dan majemuk dan membandingkan kemungkinan.

Kesulitan jelas datang karena dan Y berkorelasi (saya berasumsi ( X , Y ) secara bersama-sama gaussian, sebagai Aniko) dan Anda tidak dapat membuat perbedaan (seperti dalam jawaban @ svadali) atau rasio (seperti dalam Standard Fisher-Snedecor) "F-test") karena itu akan bergantung pada distribusi χ 2 , dan karena Anda tidak tahu apa ketergantungan ini yang membuatnya sulit untuk memperoleh distribusi di bawah H 0 .$X$$Y$$(X,Y)$$\chi^2$$H_0$

Jawaban saya bergantung pada Persamaan (1) di bawah ini. Karena perbedaan varians dapat difaktorkan dengan perbedaan dalam nilai eigen dan perbedaan dalam sudut rotasi, uji kesetaraan dapat diturunkan menjadi dua tes. Saya menunjukkan bahwa adalah mungkin untuk menggunakan Uji Fisher-Snedecor bersama - sama dengan tes pada lereng seperti yang disarankan oleh @shabbychef karena properti sederhana vektor gaussian 2D.

Fisher-Snedecor Test: Jika untuk ( Z i 1 , ... , Z i n i ) IID variabel acak gaussian dengan varians berisi empiris λ 2 i dan varians benar λ 2 i , maka dimungkinkan untuk menguji jika λ 1 = λ 2 menggunakan fakta bahwa, di bawah nol,$i=1,2$ $(Z^i_{1},\dots,Z^i_{n_i} )$$\hat{\lambda}^2_i$$\lambda^2_i$$\lambda_1=\lambda_2$

Menggunakan fakta bahwa mengikutidistribusi Fisher-SnedecorF(n1-1,n2-1

$$R=\frac{\hat{\lambda}_X^2}{\hat{\lambda}_Y^2}$$ $F(n_1-1,n_2-1)$

Sifat sederhana dari vektor gaussian 2D Mari kita dilambangkan dengan Jelas bahwa ada λ 1 , λ 2 > 0 ϵ 1 , ϵ 2 dua independen gaussian N ( 0 , λ 2 i ) sedemikian rupa

$$R(\theta) = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$$ $\lambda_1,\lambda_2>0$ $\epsilon_1$$\epsilon_2$$\mathcal{N}(0,\lambda_i^2)$

dan kita memiliki Var(X)-Var(Y)=( λ 2 1 - λ 2 2 )( cos 2 θ- sin 2 θ

$$\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = R(\theta)\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \end{bmatrix}$$ $$Var(X)-Var(Y)=(\lambda_1^2-\lambda_2^2)(\cos^2 \theta -\sin^2 \theta) \;\; [1]$$

$Var(X)=Var(Y)$$\lambda_1^2=\lambda_2^2$$\theta=\pi/4 \; mod \; [\pi/2]$

$\lambda_1^2=\lambda_2^2$$\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]$$|\beta_1|=1$$Y=\beta_1 X+\sigma\epsilon$$Y$$X$

Menguji apakah $\left ( \lambda_1^2=\lambda_2^2 \text{ or }\theta=\pi/4 [mod \; \pi/2]\right )$ at level $\alpha$ is done by testing if $\lambda_1^2=\lambda_2^2$ at level $\alpha/3$ or if $|\beta_1|=1$ at level $\alpha/3$.