Menjelaskan dekomposisi beveridge nelson

Adakah yang bisa menjelaskan cara kerja Dekomposisi Beveridge-Nelson? Sejauh ini yang saya tahu adalah memperkirakan siklus tren dalam data deret waktu non stasioner.

Saya melihat beberapa artikel jurnal dan saya masih bingung tentang cara kerjanya http://research.economics.unsw.edu.au/jmorley/bn.pdf

Dekomposisi Beveridge-Nelson adalah dekomposisi proses . Proses tersebut memiliki unit root:$ARIMA(p,1,q)$

$$y_t=y_{t-1}+u_{t},$$

tetapi bukan proses white noise, ini adalah proses . Apa yang diamati Beveridge dan Nelson dalam artikel aslinya adalah bahwa adalah mungkin untuk menguraikan proses ini menjadi dua bagian:$u_t$$ARMA(p,q)$

$$y_t=\tau_t+\xi_t,$$

di mana sekarang "murni" berjalan acak, yaitu , di mana adalah proses white noise. Istilah adalah proses stasioner lain. Dekomposisi ini adalah identitas aljabar (perincian di bawah), tetapi dapat menyebabkan interpretasi yang menarik.$\tau_t$$\tau_t=\tau_{t-1}+\varepsilon_t$$\varepsilon_t$$\xi_t$

Pernyataan yang tepat. Biarkan , di mana adalah proses white noise dan . Kemudian$u_t=\sum_{j=0}^\infty \psi_{j}\varepsilon_{t-j}$$\varepsilon_t$$\sum j|\psi_j|<\infty$

$$u_1+...+u_t=\psi(1)(\varepsilon_1+...+\varepsilon_t)+\eta_t-\eta_0,$$

dimana

$$\psi(1)=\sum_{j=0}^\infty\psi_j,\quad \eta_t=\sum_{j=0}^\infty\alpha_j\varepsilon_{t-j},\quad \alpha_j=-(\psi_{j+1}+\psi_{j+2}+...), \quad \sum|\alpha_j|<\infty.$$

Dekomposisi ini memiliki aplikasi yang bagus, misalnya

$$\frac{1}{\sqrt{T}}\sum_{t=1}^Tu_{t}=\frac{1}{\sqrt{T}}\psi(1)\sum_{t=1}^T\varepsilon_t+\frac{1}{\sqrt{T}}(\eta_t-\eta_0)\to N(0,[\psi(1)\sigma]^2),$$

di mana kita menerapkan teorema limit pusat untuk suku pertama dan mengamati bahwa suku kedua pergi ke nol, karena stasioneritas (rata-rata adalah nol dan varians suku kata menjadi nol, karena T dalam penyebutnya).

Jadi kita mendapatkan bahwa perilaku membatasi proses ARIMA (p, 1, q) sama saja dengan proses ARIMA (0,1,0). Fakta ini banyak digunakan dalam literatur deret waktu. Misalnya uji unit root Phillips dan Perron didasarkan pada itu.