Nilai statistik minimum order yang diharapkan dari sampel normal

UPDATE 25 Jan 2014: kesalahan sekarang diperbaiki Abaikan nilai terhitung dari Nilai yang Diharapkan pada gambar yang diunggah - salah - saya tidak menghapus gambar karena telah menghasilkan jawaban untuk pertanyaan ini.

UPDATE 10 Jan 2014: kesalahan ditemukan - salah ketik matematika di salah satu sumber yang digunakan. Mempersiapkan koreksi ...

Kepadatan statistik minimum order dari kumpulan variabel acak kontinu iid dengan cdf dan pdf adalah F X ( x ) f X ( x ) f X ( 1 ) ( x ( 1 ) ) = n f X ( x ( 1 ) ) [ 1 - F X ( x ( 1 ) ) ] n - $n$$F_X(x)$$f_X(x)$

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = nf_X(x_{(1)})\left[1-F_X(x_{(1)})\right]^{n-1} \qquad [1]$$

Jika variabel acak ini standar normal, maka

$$f_{X_{(1)}}(x_{(1)}) = n\phi(x_{(1)})\left[1-\Phi(x_{(1)})\right]^{n-1} = n\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}\qquad [2]$$ sehingga nilai yang diharapkan adalah $$E\left(X_{(1)}\right) = n\int_{-\infty}^{\infty}x_{(1)}\phi(x_{(1)})\left[\Phi(-x_{(1)})\right]^{n-1}dx_{(1)}\qquad [3]$$

di mana kami telah menggunakan properti simetris dari standar normal. Dalam Owen 1980 , hal.402, persamaan [ n, 011 ] kita menemukan bahwa

$$\int_{-\infty}^{\infty}z\phi(z)\left[\Phi(az)\right]^m dz= \frac {am}{(\sqrt {a^2+1})(\sqrt {2\pi})}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(z)\left[\Phi\left(\frac {az}{\sqrt {a^2+1}}\right)\right]^{m-1}dz\qquad [4]$$

Parameter yang cocok antara persamaan dan ( , ) kami dapatkan$[3]$$[4]$$a=-1$$m=n-1$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\int_{-\infty}^{\infty}\phi(x_{(1)})\left[\Phi\left(\frac {-x_{(1)}}{\sqrt 2}\right)\right]^{n-2}dx_{(1)}\qquad [5]$$

Lagi di Owen 1980, hlm. 409, eq [ n0.010.2 ] kami menemukan itu

$$\int_{-\infty}^{\infty}\left[\prod_{i=1}^{m}\Phi\left(\frac{h_i-d_iz}{\sqrt {1-d_i^2}}\right)\right] \phi(z)dz= \mathcal Z_m(h_1,...,h_m;\{\rho_{ij}\})\qquad [6]$$

di mana adalah multivariat standar normal, adalah koefisien korelasi pasangan-bijaksana dan .$\mathcal Z_m()$$\rho_{ij}=d_id_j,\; i\neq j$$-1\le d_i\le 1$

Cocok dengan dan kita miliki, , , dan $[5]$$[6]$$m=n-2$$h_i=0,\;\forall i$

$$\frac{d_i}{\sqrt {1-d_i^2}} = \frac 1{\sqrt 2} \Rightarrow d_i = \pm \frac 1{\sqrt 3} \forall i \Rightarrow \rho_{ij} = \rho = 1/3$$

Dengan menggunakan hasil ini, eq menjadi$[5]$

$$E\left(X_{(1)}\right) = -\frac {n(n-1)}{2\sqrt{\pi}}\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)\qquad [7]$$

Integral probabilitas normal multivaririate standar normal ini dari variabel yang berkorelasi sama, semua dievaluasi pada nol , telah melihat investigasi yang cukup, dan berbagai cara untuk memperkirakan dan menghitungnya telah diturunkan. Tinjauan luas (terkait dengan perhitungan integral probabilitas normal multivariat secara umum) adalah Gupta (1963) . Gupta memberikan nilai eksplisit untuk berbagai koefisien korelasi, dan hingga 12 variabel (sehingga mencakup koleksi 14 variabel). Hasilnya adalah (KOLOM TERAKHIR SALAH) :

Sekarang jika kita membuat grafik bagaimana nilai berubah dengan , kita akan memperoleh$\mathcal Z_{n-2}(0,...,0;\rho=1/3)$$n$

Jadi saya sampai pada tiga pertanyaan / permintaan saya:
1) Bisakah seseorang memeriksa secara analitik dan / atau memverifikasi dengan simulasi bahwa hasil untuk nilai yang diharapkan sudah benar (yaitu memeriksa validitas persamaan )?$[7]$

2) Dengan asumsi bahwa pendekatannya benar, dapatkah seseorang memberikan solusi untuk normals dengan varian non-zero mean dan non-unitary? Dengan semua transformasi saya merasa sangat pusing.

3) Nilai integral probabilitas tampaknya berkembang dengan lancar. Bagaimana kalau kira-kira dengan beberapa fungsi ?$n$

Hasil Anda tidak terlihat benar. Ini mudah dilihat, tanpa perhitungan apa pun, karena dalam tabel Anda, meningkat dengan ukuran sampel ; jelas, nilai yang diharapkan dari minimum sampel harus semakin kecil (yaitu menjadi lebih negatif) karena ukuran sampel semakin besar.$E[X_{(1)}]$ $n$$n$

Masalahnya secara konsep cukup mudah.

Singkatnya: jika ~ dengan pdf :$X$$N(0,1)$$f(x)$

... maka pdf statistik urutan pertama (dalam sampel ukuran ) adalah:$n$

... diperoleh di sini menggunakan OrderStatfungsi dalam mathStatica, dengan domain dukungan:

Kemudian, , untuk dapat dengan mudah diperoleh persis seperti:$E[X_{(1)}]$$n = 1,2,3$

Tepat kasus adalah sekitar , yang jelas berbeda dengan kerja Anda dari -1,06 (baris 1 dari Table Anda), sehingga tampaknya sesuatu yang jelas yang salah dengan kerja Anda (atau mungkin pemahaman saya tentang apa yang Anda cari) .$n = 3$$-0.846284$

Untuk , mendapatkan solusi bentuk tertutup lebih rumit, tetapi bahkan jika integrasi simbolis terbukti sulit, kami selalu dapat menggunakan integrasi numerik (untuk presisi sewenang-wenang jika diinginkan). Ini sangat mudah ... di sini, misalnya, adalah , untuk ukuran sampel hingga 14, menggunakan Mathematica :$n \ge 4$$E[X_{(1)}]$$n = 1$

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1.70338}

Semua selesai. Nilai-nilai ini jelas sangat berbeda dengan yang ada di tabel Anda (kolom kanan).

Untuk mempertimbangkan kasus yang lebih umum dari orangtua , lanjutkan persis seperti di atas, dimulai dengan pdf Normal umum.$N(\mu, \sigma^2)$