tentang kemerdekaan bersyarat dan representasi grafisnya

Ketika mempelajari pemilihan kovarians, saya pernah membaca contoh berikut. Sehubungan dengan model berikut:

Matriks kovariansnya dan matriks kovarians terbalik diberikan sebagai berikut,

Saya tidak mengerti mengapa independensi dan diputuskan oleh kovarians terbalik di sini?$x$$y$

Apa logika matematika yang mendasari hubungan ini?

Juga, grafik sebelah kiri pada gambar berikut diklaim untuk menangkap hubungan independensi antara dan ; Mengapa?$x$$y$

Matriks kovarian terbalik dapat digunakan untuk menentukan varian bersyarat dan kovariansi untuk distribusi Gaussian multivarian. Pertanyaan sebelumnya memberikan beberapa referensi

Misalnya untuk menemukan kovarians bersyarat dari dan Z yang diberi nilai X = x , Anda akan mengambil sudut kanan bawah dari matriks kovarians terbalik$Y$$Z$$X=x$

$$\left( \begin{array}{rr} 1 & -1 \\ -1 & 3 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{rr} \tfrac32 & \tfrac12 \\ \tfrac12 & \tfrac12 \end{array} \right)$$

yang memang memberikan matriks kovarians dan Z dikondisikan pada nilai untuk X = x .$Y$$Z$$X=x$

Demikian pula untuk menemukan matriks kovarians bersyarat dari dan Y diberi nilai untuk Z = z , Anda akan mengambil sudut kiri atas dari matriks kovarians terbalik.$X$$Y$$Z=z$

$$\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right) \text{ and re-invert it to }\left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \right)$$

memberi tahu Anda bahwa kovarians kondisional antara dan Y yang diberikan Z = z adalah 0 (dan bahwa masing-masing varian kondisionalnya adalah 1 ). $X$$Y$$Z=z$$0$$1$

Untuk menyimpulkan bahwa nol kovarians kondisional ini menyiratkan independensi bersyarat, Anda juga harus menggunakan fakta bahwa ini adalah Gaussian multivarian (seperti pada umumnya nol kovarians tidak selalu menyiratkan independensi). Anda tahu ini dari konstruksi.

$\epsilon_1$$\epsilon_2$$Z=z$$X=z+\epsilon_1$$Y=z+\epsilon_2$$Z=z$$X$$Y$

Ini adalah suplemen untuk jawaban yang benar dan diterima. Secara khusus, pertanyaan awal berisi pertanyaan lanjutan tentang pernyataan yang dibuat oleh buku.

$X$$Y$

Inilah yang dibahas dalam jawaban ini, dan satu - satunya hal yang dibahas dalam jawaban ini.

Untuk memastikan bahwa kami berada di halaman yang sama, dalam apa yang berikut, saya menggunakan definisi grafik independensi bersyarat (tidak terarah) yang sesuai (setidaknya secara kasar) dengan bidang acak Markov:

$X$$G=(K,E)$$K=\{ 1, 2, \dots, k \}$$(i,j)$$X_i \perp \! \! \! \perp X_j | X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_{K \setminus \{i,j\}}$$X_i$$X_j$

Dari hal. 60 dari Whittaker, Model Grafis dalam Statistik Matematika Multivariat Terapan (1990).

$X$$Y$$Z$$X \perp \! \! \perp Y \ | Z$

$X, Y$$Z$$X$$Y$$Z$

$X$$Y$

Mengenai grafik sebelah kiri, tidak jelas tanpa memiliki lebih banyak konteks, tetapi saya pikir idenya adalah hanya untuk menunjukkan seperti apa grafik kemandirian kondisional jika kita tidak memiliki nol pada entri dari matriks kovarians terbalik.

$X, Y, Z$