Contoh Ketimpangan Ketat von Neumann

Misalkan menunjukkan risiko Bayes dari estimator terhadap sebelumnya , misalkan menunjukkan himpunan semua prior pada ruang parameter , dan biarkan menunjukkan himpunan semua aturan keputusan (mungkin acak).δ π Π Θ $r(\pi, \delta)$$\delta$$\pi$$\Pi$$\Theta$$\Delta$

Interpretasi statistik dari ketimpangan minimal John von Neumann menyatakan bahwa

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

dengan kesetaraan yang ketat dijamin untuk beberapa $\delta'$ dan $\pi'$ ketika $\Theta$ dan $\Delta$ keduanya terbatas.

Bisakah seseorang memberikan contoh konkret di mana ketimpangannya sangat ketat?

Contoh ketidaksetaraan von Neumann yang ketat terjadi ketika fungsi risiko memenuhi kondisi berikut untuk beberapa nilai (di mana nilai sebelumnya "rendah" dan yang terakhir adalah "tinggi"):r 0 < r $r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

Kondisi pertama mengatakan bahwa terlepas dari sebelumnya, selalu ada aturan keputusan dengan risiko rendah , yang memberikan . Kondisi kedua mengatakan bahwa terlepas dari aturan keputusan selalu ada beberapa sebelum memberikan risiko tinggi , yang memberikan .sup π ∈ Π inf δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r 0 r 1 inf π ∈ Π sup δ ∈ Δ r ( π , δ ) $r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

Cara lain untuk menyatakan situasi ini adalah bahwa tidak ada aturan keputusan (dipilih sebelum melihat sebelumnya) yang menjamin risiko rendah untuk setiap sebelumnya (kadang-kadang akan memiliki risiko tinggi), tetapi untuk setiap sebelumnya, ada beberapa aturan keputusan (dipilih setelah melihat yang sebelumnya) yang menjamin risiko rendah. Dengan kata lain, untuk menerapkan batasan risiko yang rendah, kita perlu menyesuaikan aturan keputusan kita dengan yang sebelumnya .

---

Contoh: Contoh sederhana dari situasi seperti ini terjadi ketika Anda memiliki sepasang prior yang diizinkan dan sepasang aturan keputusan yang diijinkan dengan matriks risiko seperti ini:$\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

Dalam hal ini tidak ada aturan keputusan yang menjamin risiko rendah atas kedua prior, tetapi untuk masing-masing sebelumnya ada aturan keputusan yang memiliki risiko rendah. Situasi ini memenuhi kondisi di atas yang memberikan ketimpangan yang ketat dalam ketimpangan von Neumann.