Korelasi variabel acak log-normal

16

Diberikan X1 dan X2 variabel acak normal dengan koefisien korelasi ρ , bagaimana cara menemukan korelasi antara mengikuti variabel acak lognormal berikut Y1 dan Y2 ?

Y1=a1exp(μ1T+TX1)

Y2=a2exp(μ2T+TX2)

Sekarang, jika dan X 2 = σ 1 Z 2 , di mana Z 1 dan ZX1=σ1Z1X2=σ1Z2Z1 adalah normals standar, dari properti transformasi linear, kita mendapatkan:Z2

Y1=a1exp(μ1T+Tσ1Z1)

Y2=a2exp(μ2T+Tσ2(ρZ1+1ρ2Z2)

Sekarang, bagaimana cara pergi dari sini untuk menghitung korelasi antara dan Y 2Y1Y2 ?

pengguna862
sumber
@ user862, petunjuk: gunakan fungsi chracteristic dari bivariat normal.
mpiktas
2
Lihat persamaan (11) di stuart.iit.edu/shared/ Shared_stuartfaculty / whitepapers/… (tapi hati-hati dengan pengaturan huruf yang buruk).
whuber

Jawaban:

19

Saya berasumsi bahwa dan X 2N ( 0 , σ 2 2 ) . Nyatakan Z i = exp ( X1N(0,σ12)X2N(0,σ22). KemudianZi=exp(TXi)

jadiZiadalahlog-normal. Jadi

log(Zi)N(0,Tσi2)
Zi

dan E

EZi=exp(Tσi22)var(Zi)=(exp(Tσi2)1)exp(Tσi2)
EYi=aiexp(μiT)EZivar(Yi)=ai2exp(2μiT)var(Zi)

Kemudian menggunakan rumus untuk mgf normal multivariat yang kita miliki

EY1Y2=a1a2exp((μ1+μ2)T)Eexp(TX1+TX2)=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(12T(σ12+2ρσ1σ2+σ22))
So
cov(Y1,Y2)=EY1Y2EY1EY2=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(T2(σ12+σ22))(exp(ρσ1σ2T)1)

Now the correlation of Y1 and Y2 is covariance divided by square roots of variances:

ρY1Y2=exp(ρσ1σ2T)1(exp(σ12T)1)(exp(σ22T)1)
mpiktas
sumber
Note that as long as the approximation ex1+x is valid on the final formula found above one has ρY1Y2ρ.
danbarros