Korelasi yang dapat dicapai untuk variabel acak eksponensial

Berapakah kisaran korelasi yang dapat dicapai untuk pasangan variabel acak terdistribusi eksponensial dan , di mana adalah parameter tingkat?$X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

Biarkan (resp. \ Rho _ {\ max} ) menunjukkan batas bawah (resp. Upper) dari korelasi yang dapat dicapai antara X_1 dan X_2 . Batas \ rho _ {\ min} dan \ rho _ {\ max} tercapai ketika X_1 dan X_2 masing-masing adalah countermonotonic dan comonotonic (lihat di sini ).$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$$\rho_{\min}$$\rho_{\max}$$X_1$$X_2$

Batas bawah
Untuk menentukan batas bawah kami membangun pasangan variabel eksponensial countermonotonic dan menghitung korelasinya.$\rho_{\min}$

Kondisi yang diperlukan dan cukup yang disebutkan di sini dan transformasi integral probabilitas menyediakan cara yang nyaman untuk membangun variabel acak dan sedemikian rupa sehingga mereka countermonotonic. Ingat bahwa fungsi distribusi eksponensial adalah , sehingga fungsi kuantil adalah .$X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Misalkan menjadi variabel acak berdistribusi seragam, maka juga terdistribusi seragam dan variabel acak memiliki distribusi eksponensial dengan tingkat dan . Selain itu, mereka countermonotonic sejak dan , dan fungsi dan masing-masing meningkat dan menurun.$U\sim U(0, 1)$$1-U$

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Sekarang, mari kita hitung korelasi dan . Berdasarkan properti distribusi eksponensial, kita memiliki , , , dan . Juga, kami memiliki mana$X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$adalah fungsi kepadatan distribusi seragam standar. Untuk kesetaraan terakhir saya mengandalkan WolframAlpha .

Dengan demikian, Perhatikan bahwa batas bawah tidak tergantung pada nilai dan , dan bahwa korelasinya tidak pernah mencapai , bahkan ketika kedua margin sama (yaitu, ketika ).

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

Batas atas
Untuk menentukan batas atas kita mengikuti pendekatan yang sama dengan sepasang variabel eksponensial komonotonik. Sekarang, biarkan dan mana dan , yang keduanya meningkatkan fungsi. Jadi, variabel acak ini adalah comonotonic dan keduanya terdistribusi secara eksponensial dengan kurs dan .$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

Kami telah dan karenanya, Demikian pula untuk batas bawah, batas atas tidak bergantung pada tarif dan .

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$