Arti "desain" dalam matriks desain?

Dalam regresi linier, , mengapa disebut matriks desain? Bisakah dirancang atau dibangun secara sewenang-wenang sampai tingkat tertentu seperti dalam seni?$Y= X\beta$$X$$X$

Untuk memberikan contoh sejalan dengan @ respon neverKnowsBest ini, menganggap bahwa dalam percobaan faktorial ada 3 faktor, masing-masing diperlakukan sebagai variabel kategori dengan 2 tingkat, dan setiap kombinasi yang mungkin dari tingkat faktor diuji dalam setiap replikasi. Jika percobaan hanya dilakukan sekali (tidak ada replikasi) desain ini akan membutuhkan 2 3 = 8 berjalan. Berjalan dapat digambarkan dengan matriks 8x3 berikut: [ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 $2^3$$2^3=8$ mana baris mewakili run dan kolom mewakili level faktor: [ A B C ]. (Kolom pertama mewakili tingkat faktor A, kolom kedua B, dan kolom ketiga C). Ini disebut sebagaiMatriks Desainkarena menggambarkan desain percobaan. Run pertama dikumpulkan pada level 'rendah' ​​dari semua faktor, run kedua dikumpulkan pada level 'tinggi' faktor A dan level 'rendah' ​​faktor B dan C, dan seterusnya.

$$\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$$ $$\left[\begin{array}{rr} A & B & C \\ \end{array} \right].$$

$$\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$$ $$\left[\begin{array}{rr} I & A & B & C & AB & AC & BC & ABC \\ \end{array} \right].$$

Kutipan

Montgomery, D. (2009). Desain dan Analisis Eksperimen, Edisi ke-7. John Wiley & Sons Inc.

$\mathbf{X}$$\mathbf{X}$$\mathbf{X}$$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$

Desain eksperimen berfokus pada bagaimana membangun matriks desain dan matriks model sejak itu terjadi sebelum data dikumpulkan. Jika data sudah terkumpul maka desainnya diatur dalam batu tetapi Anda masih bisa mengubah model matriks. Kadang-kadang percobaan yang dirancang akan memiliki dalam matriks desain kolom tetap tertentu yang disebut kovariat yang tidak dapat mengontrol tetapi Anda dapat mengamati.

Ada beberapa hal yang dapat terjadi tergantung pada pilihan model dan desain Anda ... parameter tertentu dapat menjadi sulit untuk diperkirakan (varians yang lebih besar dari estimator) atau Anda mungkin tidak dapat memperkirakan parameter tertentu sama sekali. Saya akan mengatakan memutuskan pada model yang sesuai memiliki beberapa elemen seni untuk itu, dan tentu saja ada seni untuk merancang eksperimen.

$X$$X$$X$$\beta$

$X$

Bisakah X dirancang atau dibangun secara sewenang-wenang sampai tingkat tertentu seperti dalam seni?

Pada dasarnya pertanyaan ini bermuara pada "bisakah Anda membuat model yang dilatih tentang data yang diproduksi" yang jawabannya jelas ya. Misalnya, inilah salah satu cara untuk membangun matriks desain sewenang-wenang (vektor desain, sungguh) yang akan memberikan model dengan kemiringan dan penyadapan yang telah ditentukan:

design_mat=function(b, a){
  X = runif(100)
  Y = a*X + b
  data.frame(X,Y)
}

df = design_mat(-5, 12.3)

(lm(Y~X, data=df))

Call:
lm(formula = Y ~ X, data = df)

Coefficients:
(Intercept)            X  
       -5.0         12.3  

$X = \frac{Y-b}{a}$