Kesalahan standar lereng dalam regresi linier satu demi satu dengan breakpoint yang diketahui

Situasi

Saya memiliki dataset dengan satu variabel dependen dan satu variabel bebas x . Saya ingin mencocokkan regresi linear piecewise berkelanjutan dengan k breakpoint diketahui / diperbaiki terjadi di ( a 1 , a 2 , ... , a k ) . Breakpoins dikenal tanpa ketidakpastian, jadi saya tidak ingin memperkirakannya. Maka saya cocok dengan regresi (OLS) dari bentuk y i = β 0 + β 1 x i + β 2 max ( x i - a $y$$x$$k$$(a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{k})$ Berikut adalah contoh dalam

set.seed(123)
x <- c(1:10, 13:22)
y <- numeric(20)
y[1:10] <- 20:11 + rnorm(10, 0, 1.5)
y[11:20] <- seq(11, 15, len=10) + rnorm(10, 0, 2)

Mari kita asumsikan bahwa breakpoint terjadi di 9.6 :$k_1$$9.6$

mod <- lm(y~x+I(pmax(x-9.6, 0)))
summary(mod)

Coefficients:
                    Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)          21.7057     1.1726  18.511 1.06e-12 ***
x                    -1.1003     0.1788  -6.155 1.06e-05 ***
I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Mencegat dan kemiringan dari dua segmen adalah: dan - 1,1 untuk yang pertama dan 8,5 dan 0,27 untuk yang kedua, masing-masing.$21.7$$-1.1$$8.5$$0.27$

Pertanyaan

1. Bagaimana cara menghitung intersep dan kemiringan setiap segmen dengan mudah? Apakah model dapat direkam ulang untuk melakukan ini dalam satu perhitungan?
2. Bagaimana cara menghitung kesalahan standar setiap kemiringan dari setiap segmen?
3. Bagaimana cara menguji apakah dua lereng yang berdekatan memiliki kemiringan yang sama (yaitu apakah breakpoint dapat dihilangkan)?

1. Bagaimana cara menghitung intersep dan kemiringan setiap segmen dengan mudah?

$x=15$$-1.1003 + 1.3760 = 0.2757\,$.

Pencegatannya sedikit lebih sulit, tetapi merupakan kombinasi linear dari koefisien (melibatkan simpul).

$x=9.6$$21.7057 -1.1003 \times 9.6 = 11.1428$$(9.6, 11.428)$$0.2757$$11.1428 - 0.2757 \times 9.6 = 8.496$$\beta_0 - \beta_2 k_1 = 21.7057 - 1.3760 \times 9.6$

Bisakah model ini ditata ulang untuk melakukan ini dalam satu perhitungan?

Ya, tapi mungkin secara umum lebih mudah untuk hanya menghitungnya dari model.

2. Bagaimana cara menghitung kesalahan standar setiap kemiringan dari setiap segmen?

$a^\top\hat\beta$$a$$a^\top\text{Var}(\hat\beta)a$

misalnya dalam contoh Anda, kesalahan standar kemiringan segmen kedua adalah:

Sb <- vcov(mod)[2:3,2:3]
sqrt(sum(Sb))

alternatifnya dalam bentuk matriks:

Sb <- vcov(mod)
a <- matrix(c(0,1,1),nr=3)
sqrt(t(a) %*% Sb %*% a)

3. Bagaimana cara menguji apakah dua lereng yang berdekatan memiliki kemiringan yang sama (yaitu apakah breakpoint dapat dihilangkan)?

Ini diuji dengan melihat koefisien pada tabel segmen itu. Lihat baris ini:

I(pmax(x - 9.6, 0))   1.3760     0.2688   5.120 8.54e-05 ***

Itulah perubahan kemiringan di 9,6. Jika perubahan itu berbeda dari 0, kedua lereng tidak sama. Jadi nilai-p untuk pengujian bahwa segmen kedua memiliki kemiringan yang sama dengan yang pertama tepat di akhir garis itu.

Pendekatan naif saya, yang menjawab pertanyaan 1:

mod2 <- lm(y~I((x<9.6)*x)+as.numeric((x<9.6))+
             I((x>=9.6)*x)+as.numeric((x>=9.6))-1)
summary(mod2)

#                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
# I((x < 9.6) * x)        -1.1040     0.2328  -4.743 0.000221 ***
# as.numeric((x < 9.6))   21.7188     1.3099  16.580 1.69e-11 ***
# I((x >= 9.6) * x)        0.2731     0.1560   1.751 0.099144 .  
# as.numeric((x >= 9.6))   8.5442     2.6790   3.189 0.005704 ** 

Tetapi saya tidak yakin apakah statistik (dalam derajat kebebasan tertentu) dilakukan dengan benar, jika Anda melakukannya dengan cara ini.