Edit
Saya telah menemukan kertas yang menggambarkan dengan tepat prosedur yang saya butuhkan. Satu-satunya perbedaan adalah bahwa makalah menginterpolasi data rata-rata bulanan ke harian, sambil mempertahankan rata-rata bulanan. Saya mengalami kesulitan untuk mengimplementasikan pendekatan di R
. Setiap petunjuk dihargai.
Asli
Untuk setiap minggu, saya memiliki data jumlah berikut (satu nilai per minggu):
- Jumlah konsultasi dokter
- Jumlah kasus influenza
Tujuan saya adalah mendapatkan data harian dengan interpolasi (saya memikirkan splines linier atau terpotong). Yang penting adalah saya ingin menghemat rata-rata mingguan, yaitu rata-rata data harian yang diinterpolasi harus sama dengan nilai yang terekam minggu ini. Selain itu, interpolasi harus lancar. Satu masalah yang dapat muncul adalah bahwa satu minggu tertentu memiliki kurang dari 7 hari (misalnya pada awal atau akhir tahun).
Saya akan berterima kasih atas saran tentang masalah ini.
Terima kasih banyak.
Berikut ini adalah kumpulan data sampel untuk tahun 1995 ( diperbarui ):
structure(list(daily.ts = structure(c(9131, 9132, 9133, 9134,
9135, 9136, 9137, 9138, 9139, 9140, 9141, 9142, 9143, 9144, 9145,
9146, 9147, 9148, 9149, 9150, 9151, 9152, 9153, 9154, 9155, 9156,
9157, 9158, 9159, 9160, 9161, 9162, 9163, 9164, 9165, 9166, 9167,
9168, 9169, 9170, 9171, 9172, 9173, 9174, 9175, 9176, 9177, 9178,
9179, 9180, 9181, 9182, 9183, 9184, 9185, 9186, 9187, 9188, 9189,
9190, 9191, 9192, 9193, 9194, 9195, 9196, 9197, 9198, 9199, 9200,
9201, 9202, 9203, 9204, 9205, 9206, 9207, 9208, 9209, 9210, 9211,
9212, 9213, 9214, 9215, 9216, 9217, 9218, 9219, 9220, 9221, 9222,
9223, 9224, 9225, 9226, 9227, 9228, 9229, 9230, 9231, 9232, 9233,
9234, 9235, 9236, 9237, 9238, 9239, 9240, 9241, 9242, 9243, 9244,
9245, 9246, 9247, 9248, 9249, 9250, 9251, 9252, 9253, 9254, 9255,
9256, 9257, 9258, 9259, 9260, 9261, 9262, 9263, 9264, 9265, 9266,
9267, 9268, 9269, 9270, 9271, 9272, 9273, 9274, 9275, 9276, 9277,
9278, 9279, 9280, 9281, 9282, 9283, 9284, 9285, 9286, 9287, 9288,
9289, 9290, 9291, 9292, 9293, 9294, 9295, 9296, 9297, 9298, 9299,
9300, 9301, 9302, 9303, 9304, 9305, 9306, 9307, 9308, 9309, 9310,
9311, 9312, 9313, 9314, 9315, 9316, 9317, 9318, 9319, 9320, 9321,
9322, 9323, 9324, 9325, 9326, 9327, 9328, 9329, 9330, 9331, 9332,
9333, 9334, 9335, 9336, 9337, 9338, 9339, 9340, 9341, 9342, 9343,
9344, 9345, 9346, 9347, 9348, 9349, 9350, 9351, 9352, 9353, 9354,
9355, 9356, 9357, 9358, 9359, 9360, 9361, 9362, 9363, 9364, 9365,
9366, 9367, 9368, 9369, 9370, 9371, 9372, 9373, 9374, 9375, 9376,
9377, 9378, 9379, 9380, 9381, 9382, 9383, 9384, 9385, 9386, 9387,
9388, 9389, 9390, 9391, 9392, 9393, 9394, 9395, 9396, 9397, 9398,
9399, 9400, 9401, 9402, 9403, 9404, 9405, 9406, 9407, 9408, 9409,
9410, 9411, 9412, 9413, 9414, 9415, 9416, 9417, 9418, 9419, 9420,
9421, 9422, 9423, 9424, 9425, 9426, 9427, 9428, 9429, 9430, 9431,
9432, 9433, 9434, 9435, 9436, 9437, 9438, 9439, 9440, 9441, 9442,
9443, 9444, 9445, 9446, 9447, 9448, 9449, 9450, 9451, 9452, 9453,
9454, 9455, 9456, 9457, 9458, 9459, 9460, 9461, 9462, 9463, 9464,
9465, 9466, 9467, 9468, 9469, 9470, 9471, 9472, 9473, 9474, 9475,
9476, 9477, 9478, 9479, 9480, 9481, 9482, 9483, 9484, 9485, 9486,
9487, 9488, 9489, 9490, 9491, 9492, 9493, 9494, 9495), class = "Date"),
wdayno = c(0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L,
5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L,
6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L,
0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L,
1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L,
2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L,
3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L,
4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L,
5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L,
6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L,
0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L,
1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L,
2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L,
3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L,
4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L,
5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L,
6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L,
0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L,
1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L,
2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L,
3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L,
4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L,
5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L,
6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L,
0L, 1L, 2L, 3L, 4L, 5L, 6L, 0L), month = c(1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,
1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2,
2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3,
3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3,
3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,
4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4, 4,
4, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5,
5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 6, 6, 6,
6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6,
6, 6, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7,
7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8,
8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8,
8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,
9, 9, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10,
10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10, 10,
10, 10, 10, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11,
11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11, 11,
11, 11, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12,
12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12, 12,
12, 12, 12, 12), year = c(1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995,
1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995, 1995), yearday = 0:364,
no.influ.cases = c(NA, NA, NA, 168L, NA, NA, NA, NA, NA,
NA, 199L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 214L, NA, NA, NA, NA, NA,
NA, 230L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 267L, NA, NA, NA, NA, NA,
NA, 373L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 387L, NA, NA, NA, NA, NA,
NA, 443L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 579L, NA, NA, NA, NA, NA,
NA, 821L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 1229L, NA, NA, NA, NA,
NA, NA, 1014L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 831L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 648L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 257L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 203L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 137L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 78L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 82L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 69L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 45L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 51L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 45L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 63L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 55L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 54L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 52L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 27L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 24L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 12L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 10L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 22L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 42L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 32L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 52L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 82L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 95L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 91L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 104L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 143L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 114L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 100L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 83L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 113L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 145L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 175L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 222L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 258L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 384L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 755L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 976L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 879L, NA, NA, NA, NA), no.consultations = c(NA,
NA, NA, 15093L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 20336L, NA, NA, NA,
NA, NA, NA, 20777L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 21108L, NA, NA,
NA, NA, NA, NA, 20967L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 20753L, NA,
NA, NA, NA, NA, NA, 18782L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 19778L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 19223L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 21188L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 22172L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 21965L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 21768L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 21277L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 16383L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 15337L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 19179L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 18705L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 19623L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 19363L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 16257L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 19219L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 17048L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 19231L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 20023L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 19331L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 18995L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 16571L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 15010L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 13714L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 10451L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 14216L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 16800L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 18305L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 18911L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 17812L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 18665L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 18977L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 19512L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 17424L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 14464L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 16383L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 19916L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 18255L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 20113L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 20084L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 20196L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 20184L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 20261L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 22246L,
NA, NA, NA, NA, NA, NA, 23030L, NA, NA, NA, NA, NA, NA, 10487L,
NA, NA, NA, NA)), .Names = c("daily.ts", "wdayno", "month",
"year", "yearday", "no.influ.cases", "no.consultations"), row.names = c(NA,
-365L), class = "data.frame")
sumber
R
atau paket statistik lainnya (Saya tidak memiliki akses ke ArcGIS)? Tanpa implementasi yang tersedia secara konkret, saya masih terjebak, saya khawatir.geoRglm
, asalkan Anda memiliki pemahaman yang sangat baik tentang variografi dan perubahan dukungan (yang diperlukan untuk mengembangkan model korelasi spasial). Manual ini diterbitkan oleh Springer Verlag sebagai Model-Based Geostatistics, Diggle & Ribeiro Jr.Jawaban:
Saya telah berhasil membuat
R
fungsi yang menginterpolasi titik-titik genap spasi secara linier dan dengan splines sambil mempertahankan nilai rata-rata (mis. Mingguan, bulanan, dll.). Ia menggunakan fungsina.approx
danna.spline
darizoo
paket dan secara berulang menghitung splines dengan properti yang diinginkan. Algoritma ini dijelaskan dalam makalah ini .Ini kodenya:
Mari kita terapkan fungsi ke dataset contoh yang diberikan dalam pertanyaan:
Baik interpolasi linier dan spline tampak baik-baik saja. Mari kita periksa apakah cara mingguan dipertahankan (keluaran terpotong):
sumber
Setiap garis lurus yang melewati rata-rata di titik tengah rentang akan menghasilkan nilai harian yang memiliki rata-rata yang diperlukan. Komentar terakhir Nick Cox tentang 'bagi jumlah mingguan dengan jumlah hari' adalah kasus khusus dengan gradien = 0.
Jadi kita dapat menyesuaikan ini dan memilih gradien untuk membuat hal-hal yang mungkin sedikit lebih lancar. Inilah tiga fungsi R untuk melakukan sesuatu seperti itu:
Tambahkan ukuran hari ke data Anda, lalu plot, dan lalu plot interpolator:
Kemungkinan lain adalah membatasi kontinuitas pada akhir pekan tetapi ini memberi Anda sebuah sistem dengan hanya satu derajat kebebasan - yaitu ia sepenuhnya ditentukan oleh kemiringan bagian pertama (karena dengan demikian semua bagian lain harus bergabung). Saya tidak punya kode ini - Anda harus mencobanya!
[Apol untuk kode R yang sedikit kumuh, itu harus benar-benar mengembalikan poin daripada merencanakannya]
sumber
(Jika data pengukuran bukan hitungan, saya cenderung memodelkan proporsi melalui model Dirichlet, tapi itu sedikit lebih terlibat.)
Fakta bahwa jumlah hari tidak akan selalu sama seharusnya tidak menjadi masalah khusus, selama Anda tahu apa itu - selama Anda menggunakan offset untuk meletakkan segala sesuatu di 'level' yang sama.
sumber
Saya akan menggabungkan beberapa komentar tambahan sebagai jawaban lain.
Diperlukan beberapa saat agar struktur proyek ini menjadi lebih jelas. Mengingat bahwa influenza sekarang dinyatakan sebagai satu kovariat di antara beberapa, apa yang Anda lakukan dengan itu tampaknya tidak begitu penting, atau setidaknya tidak pantas untuk skeptis yang diungkapkan dalam beberapa komentar saya sebelumnya. Karena segala hal lainnya dilakukan setiap hari, mengurangi segalanya menjadi berminggu-minggu akan membuang terlalu banyak detail.
Fokus asli dari pertanyaan tetap, pada interpolasi yang mempertahankan rata-rata mingguan di mana satu (ekstrim) jawaban adalah bahwa rata-rata mingguan mempertahankan rata-rata mingguan. Karena tidak mengejutkan tampaknya tidak menarik atau tidak realistis, metode interpolasi lain tampaknya lebih menarik dan / atau metode imputasi seperti yang diusulkan oleh @Spacedman. (Cukup apakah itu imputasi dengan rasa temporal atau interpolasi dengan penambahan rasa stokastik saya tidak jelas.)
Dua pemikiran spesifik lebih lanjut:
Mengambil nilai-nilai mingguan (dibagi dengan jumlah hari) dan kemudian menghaluskan dengan rata-rata tertimbang kemungkinan dalam praktiknya untuk mempertahankan nilai rata-rata hingga perkiraan yang baik.
Karena jumlah kasus influenza diperhitungkan, penghalusan jumlah root atau log dan kemudian transformasi kembali mungkin bekerja lebih baik daripada hanya penghalusan hitungan.
sumber