Jumlah duplikat yang diharapkan (rangkap tiga dll) saat menggambar dengan penggantian

Saya memiliki masalah berikut:

Saya memiliki 100 item unik (n), dan saya memilih 43 (m) dari mereka satu per satu (dengan penggantian).

Saya perlu menyelesaikan untuk jumlah uniques yang diharapkan (hanya dipilih sekali, k = 1), ganda (dipilih tepat dua kali k = 2), tripples (tepat k = 3), paha depan dll ...

Saya sudah dapat menemukan banyak hasil pada kemungkinan ada setidaknya satu ganda (paradoks ulang tahun), tetapi tidak pada jumlah pasangan yang diharapkan dalam populasi.

probability expected-value birthday-paradox Kaitlyn K
sumber

Apakah perkiraan Monte Carlo berguna bagi Anda, atau apakah Anda memerlukan jawaban dalam bentuk tertutup?

David J. Harris

Saya lebih suka rumus bentuk tertutup sehingga saya dapat dengan mudah menerapkannya pada nilai n, m dan k yang berbeda.

Kaitlyn K

Jawaban:

$i^{th}$ $\text{Binom}(m, \, 1/n)$

E [number of  pairs] = \sum_{i = 1}^{n} P [i^{t h} item appears twice]

$\mathbb{E}[\text{number of pairs}] = \sum_{i = 1}^n \mathbb{P}[i^{th} \text{ item appears twice}]$

n \cdot P [Binom (m, 1 / n) = 2] .

$n \cdot \mathbb{P}[\text{Binom}(m, \, 1/n) = 2].$

Anda bisa mendapatkan nilai numerik dalam R dengan perintah n * dbinom (k, m, 1 / n).

Stefan Taruhan
sumber

Bisakah rumus itu digunakan untuk ak = 0 atau 1?

Kaitlyn K

Ya bisa. Dengan k = 0, Anda dapat menafsirkannya sebagai `berapa banyak poin tidak akan muncul di antara yang dipilih '.

Stefan Taruhan

Tetapi peristiwa ini tidak independen. Misal ketika item 1 muncul m kali, maka tidak ada item lain yang bisa muncul. Anda tidak bisa begitu saja menambahkan nilai P.

asterix314