Apakah akar kuadrat dari matriks semi-pasti positif adalah hasil yang unik?

Saya mencoba menguraikan serangkaian waktu $n$ pengamatan $\bf{\mathrm{v_c}}$ ke dalam $n \times n$ struktur varians-kovarians $\sum$ dan seri acak $\bf{\mathrm{v}}$.

Jadi, saya bisa menurunkan matriks varians-kovarians $\sum$ dari fungsi autokorelasi $\bf{\mathrm{v_c}}$. Ini akan menjadi matriks Toeplitz, yang merupakan semidefinite positif. Oleh karena itu, saya dapat menghitung matriks yang sesuai$\sum^{-\frac{1}{2}}$ untuk mengubah seri berkorelasi saya menjadi sinyal acak.

$\bf{\mathrm{v}} = \sum^{-\frac{1}{2}}\bf{\mathrm{v_c}}$

Saya dapat melakukan ini menggunakan fungsi sqrt (m) di MATLAB, tetapi juga dapat menemukan factorisation Cholesky dari matriks varians-kovarians dan menggunakannya untuk menginduksi korelasi. Namun, saya mendapatkan hasil yang berbeda (tapi agak mirip) untuk seri acak menggunakan metode sqrtm dan Cholesky.

Saya telah membaca beberapa teks untuk menentukan bagaimana saya bisa memastikan akar kuadrat dari berbagai matriks, dan telah melihat metode dekomposisi nilai eigen dan sebagainya. Saya melihat hanya ada solusi unik dalam kondisi tertentu yang ditentukan - tetapi saya berasumsi bahwa solusi unik ini masih salah satu dari banyak akar?

Pertanyaan saya adalah ini: apakah ada cara untuk menyatakan bahwa satu akar kuadrat tertentu lebih disukai daripada yang lain. Jika tidak, apakah ada cara untuk mengekstrak semua solusi yang mungkin, sehingga semua fungsi acak yang mungkin dapat diperoleh?

Biarkan sebuah matriks $\mathbb{V}$ memiliki "akar kuadrat" $\mathbb{A}$ dan $\mathbb{B}$; itu adalah,

Untuk kesederhanaan, anggaplah matriks asli tidak dapat dibalik (yang setara dengan positif pasti berdasarkan asumsi). Kemudian , , dan transposinya juga harus dapat dibalik karena$\mathbb{V}$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

menunjukkan kebalikan kiri untuk , menyiratkan juga bisa dibalik; argumen yang sama berlaku untuk , tentu saja. Kami mengeksploitasi invers ini untuk menulis$\mathbb{A}^\intercal$$\mathbb{A}$$\mathbb{B}$

menunjukkan bahwa adalah matriks ortogonal : yaitu, . Himpunan matriks tersebut membentuk dua manifold nyata yang halus dari dimensi ketika adalah oleh$\mathbb{O=B^{-1}A}$$\mathbb{OO^\intercal=I}$$n(n-1)/2$$\mathbb{V}$$n$$n$ . Secara geometris, matriks ortogonal berhubungan dengan rotasi atau refleksi yang diikuti oleh rotasi, tergantung pada tanda determinannya.

Sebaliknya, ketika adalah akar kuadrat dari , perhitungan yang serupa (tetapi lebih mudah) menunjukkan bahwa juga merupakan akar kuadrat untuk matriks ortogonal apa pun --dan itu di sini tidak masalah apakah tidak dapat dibalik atau tidak.$\mathbb{A}$$\mathbb{V}$$\mathbb{AO}$$\mathbb{O}$$\mathbb{A}$

Juga mudah untuk melihat bahwa perkalian dengan matriks ortogonal (tidak sama dengan ) benar-benar mengubah akar kuadrat dari matriks yang tidak dapat dibalik. Lagi pula, langsung menyiratkan . Ini menunjukkan bahwa akar kuadrat dari matriks positif-pasti dapat dimasukkan ke dalam korespondensi satu-ke-satu dengan matriks ortogonal.$\mathbb{I}$$\mathbb{AO = A}$$\mathbb{O = A^{-1}A = I}$

Ini menunjukkan bahwa akar kuadrat dari matriks positif-pasti hanya ditentukan hingga perkalian dengan matriks ortogonal. Untuk kasus semi-pasti, situasinya lebih rumit, tetapi paling tidak, perkalian dengan matriks ortogonal menjaga properti menjadi akar kuadrat.

Jika Anda ingin menerapkan kriteria tambahan ke akar kuadrat Anda, Anda mungkin dapat mengidentifikasi yang unik atau setidaknya mempersempit ambiguitas: yang akan tergantung pada preferensi khusus Anda.