Mengapa matriks Fisher Information semidefinite positif?

18

Biarkan . Matriks Informasi Fisher didefinisikan sebagai: $\theta \in R^{n}$

I (θ)_{i, j} = - E [\frac{\partial^{2} \log (f (X | θ))}{\partial θ_{i} \partial θ_{j}} | θ]

$I(\theta)_{i,j} = -E\left[\frac{\partial^{2} \log(f(X|\theta))}{\partial \theta_{i} \partial \theta_{j}}\bigg|\theta\right]$

Bagaimana saya bisa membuktikan Matriks Informasi Fisher adalah semidefinit positif?

inference linear-algebra fisher-information madprob
sumber

7

Bukankah itu nilai yang diharapkan dari produk luar skor itu sendiri?

Neil G

19

Lihat ini: http://en.wikipedia.org/wiki/Fisher_information#Matrix_form

Dari definisi yang kita miliki

I_{i j} = E_{θ} [(\partial_{i} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ)) (\partial_{j} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))],

$I_{ij} = \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right) \left(\partial_j \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right)\right] \, ,$

untuk , di mana . Ekspresi Anda untuk mengikuti dari ini dalam kondisi keteraturan.

i, j = 1, \dots, k

$i,j=1,\dots,k$

\partial_{i} = \partial / \partial θ_{i}

$\partial_i=\partial /\partial \theta_i$

I_{i j}

$I_{ij}$

Untuk vektor nonnull , ini mengikuti dari linearitas harapan yang $u = (u_1,\dots,u_k)^\top\in\mathbb{R}^n$

\sum_{i, j = 1}^{k} u_{i} I_{i j} u_{j} = \sum_{i, j = 1}^{k} (u_{i} E_{θ} [(\partial_{i} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ)) (\partial_{j} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))] u_{j}) = E_{θ} [(\sum_{i = 1}^{k} u_{i} \partial_{i} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ)) (\sum_{j = 1}^{k} u_{j} \partial_{j} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))] = E_{θ} [{(\sum_{i = 1}^{k} u_{i} \partial_{i} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))}^{2}] \geq 0 .

$\sum_{i,j=1}^k u_i I_{ij} u_j = \sum_{i,j=1}^k \left( u_i \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right) \left(\partial_j \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right)\right] u_j \right) \\ = \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\sum_{i=1}^k u_i \partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right) \left(\sum_{j=1}^k u_j \partial_j \log f_{X\mid\Theta} (X\mid\theta)\right)\right] \\ = \mathrm{E}_\theta \left[ \left(\sum_{i=1}^k u_i \partial_i \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta)\right)^2 \right] \geq 0 \, .$

Jika notasi bijak komponen ini terlalu jelek, perhatikan bahwa matriks Informasi Fisher dapat ditulis sebagai , di mana vektor skor didefinisikan sebagai $H=(I_{ij})$ $H = \mathrm{E}_\theta\left[S S^\top\right]$ $S$

S = {(\partial_{1} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ), \dots, \partial_{k} \log f_{X ∣ Θ} (X ∣ θ))}^{⊤} .

$S = \left( \partial_1 \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta), \dots, \partial_k \log f_{X\mid\Theta}(X\mid\theta) \right)^\top \, .$

Karenanya, kita memiliki satu-liner

u^{⊤} H u = u^{⊤} E_{θ} [S S^{⊤}] u = E_{θ} [u^{⊤} S S^{⊤} u] = E_{θ} [| | S^{⊤} u | |^{2}] \geq 0.

$u^\top H u = u^\top \mathrm{E}_\theta[S S^\top] u = \mathrm{E}_\theta[u^\top S S^\top u] = \mathrm{E}_\theta\left[|| S^\top u ||^2\right] \geq 0.$

Zen
sumber

3

(+1) Jawaban yang bagus dan selamat datang kembali, Zen. Saya menjadi khawatir kami mungkin telah kehilangan Anda secara permanen mengingat lamanya waktu istirahat Anda. Itu akan sangat memalukan!

kardinal

5

PERINGATAN: bukan jawaban umum!

Jika sesuai dengan keluarga eksponensial peringkat penuh, maka Hessian negatif dari log-likelihood adalah matriks kovarians dari statistik yang cukup. Matriks kovarian selalu semi positif. Karena informasi Fisher adalah kombinasi cembung dari matriks semi-pasti positif, maka itu juga harus semi positif pasti. $f(X|\theta)$

Gusl
sumber

Mengapa matriks Fisher Information semidefinite positif?

Jawaban: