Jika pertandingan tenis adalah satu set besar, berapa banyak game yang akan memberikan akurasi yang sama?

12

Tenis memiliki sistem penilaian tiga tingkat yang aneh, dan saya ingin tahu apakah ini memiliki manfaat statistik, dari sudut pandang pertandingan sebagai percobaan untuk menentukan pemain yang lebih baik.

Bagi mereka yang tidak terbiasa, dalam aturan normal permainan dimenangkan oleh poin pertama hingga 4, asalkan Anda memiliki keunggulan 2 poin (yaitu jika skor 4-2 Anda menang, tetapi 4-3 Anda membutuhkan 1 poin lagi, dan pertahankan pergi sampai satu pemain unggul 2).

Satu set kemudian merupakan kumpulan game, dan satu set dimenangkan oleh yang pertama hingga 6, sekali lagi harus menang dengan 2, kecuali kali ini permainan tie-breaker khusus dimainkan alih-alih menjalankan (kecuali set final Wimbledon dll. ..)

Pertandingan dimenangkan oleh set pertama atau 2 set tergantung pada kompetisi.

Sekarang, tenis juga aneh karena permainannya tidak adil. Untuk setiap titik tertentu server memiliki keuntungan besar, oleh karena itu setiap permainan server bergantian.

Dalam permainan tie-breaker, serve bergantian setelah setiap poin, dan itu adalah yang pertama hingga 7 poin, sekali lagi dengan keunggulan 2 poin.

Mari kita asumsikan bahwa pemain A memiliki kemungkinan memenangkan poin pada serve dari dan ketika menerima p r .pspr

Pertanyaannya adalah ini, misalkan kita

A) baru saja bermain tenis sebagai pertandingan "best of N game" besar, berapa banyak game yang akan memberikan akurasi yang sama dengan tenis 5 set normal terbaik

B) baru saja bermain tenis sebagai permainan tiebreak besar, berapa banyak poin yang akan memberikan akurasi yang sama dengan tenis 5 set terbaik?

Jelas jawaban ini akan tergantung pada dan p r nilai-nilai mereka sendiri, sehingga juga akan baik untuk tahupspr

C) Berapa jumlah permainan & poin yang diharapkan yang dimainkan dalam tenis normal, dengan asumsi , p rpspr


Mendefinisikan "Akurasi"

Jika kita mengasumsikan bahwa keterampilan kedua pemain tetap konstan, maka jika mereka bermain untuk waktu yang tidak terbatas, maka satu atau pemain lain akan menang hampir pasti, terlepas dari format permainannya. Pemain ini adalah pemenang yang "benar". Saya cukup yakin bahwa pemenang yang benar adalah pemain untuk siapa .pr+ps>1

Format permainan yang lebih baik, adalah yang menghasilkan pemenang yang benar lebih sering, untuk jumlah poin yang sama dimainkan, atau sebaliknya menghasilkan pemenang yang benar dengan probabilitas yang sama dalam beberapa poin yang dimainkan.

Corone
sumber
2
Hanya set ke-5 yang tidak memiliki tie-breaker di Wimbledon, Australia Terbuka, dan Prancis Terbuka. 4 set pertama dimainkan dengan tie-breaker.
mpiktas
Apa sebenarnya yang Anda maksud dengan "akurasi"? Maksud Anda sesuatu seperti "seberapa sering pemain yang lebih baik menang?" Bagaimanapun, Anda membutuhkan empat parameter, bukan dua; Anda membutuhkan dan p r untuk setiap pemain, meskipun p 1 s = 1 - p 2 r dan sebaliknya. Jika beberapa pemain klub memainkan pemain kelas dunia, maka mungkin p 1 s = .01 , p 1 r = .001 . Saya pikir cara termudah untuk mencari tahu ini adalah melalui beberapa metode intensif komputer. Anda bisa memperkirakannya secara analitis, tetapi perhitungannya akan semakin intensif.psprp1s=1p2rp1s=.01p1r=.001
Peter Flom - Reinstate Monica
Saya berpikir bahwa hubungan antara dan keterampilan pemain bisa diabaikan, karena kami hanya ingin perbandingan antara metode pengukuran. Yaitu untuk setiap pencocokan yang diberikan jika p s + p r > 1 maka pemain 1 harus menang (yaitu kemampuan menang poin rata-rata mereka melebihi 50%). Turnamen yang lebih baik mencapai ini lebih sering. ps/rps+pr>1
Corone
Dengan "akurasi yang sama" maksud Anda bahwa probabilitas keseluruhan pemain diberikan menang adalah sama dalam format baik (untuk tetap dan p r ?pspr
Michael McGowan

Jawaban:

12

Jika Anda memainkan game hingga poin, di mana Anda harus menang dengan 2 , Anda dapat mengasumsikan para pemain memainkan 6 poin. Jika tidak ada pemain yang menang dengan 2 , maka skor terikat 3 - 3 , dan kemudian Anda bermain pasang poin sampai satu pemain memenangkan keduanya. Ini berarti peluang untuk memenangkan permainan menjadi 4 poin, ketika peluang Anda untuk memenangkan setiap poin adalah p , adalah422334p

.

p6+6p5(1p)+15p4(1p)2+20p3(1p)3p2p2+(1p)2

Dalam permainan pria tingkat atas, mungkin sekitar 0,65 untuk server. (Ini akan menjadi 0,66 jika pria tidak mengurangi pada servis kedua.) Menurut formula ini, kesempatan untuk menahan servis adalah sekitar 82,96 % .p0.650.6682.96%

Misalkan Anda memainkan tiebreak hingga poin. Anda dapat mengasumsikan bahwa poin dimainkan berpasangan di mana setiap pemain melayani satu dari setiap pasangan. Siapa yang melayani pertama kali tidak masalah. Anda dapat mengasumsikan para pemain memainkan 12 poin. Jika mereka terikat pada titik itu, maka mereka bermain berpasangan hingga satu pemain memenangkan kedua pasangan, yang berarti peluang bersyarat untuk menang adalah p s p r / ( p s p r + ( 1 - p s ) ( 1 - p r ) ) . Jika saya menghitung dengan benar, peluang untuk memenangkan tiebreak menjadi 7712pspr/(pspr+(1ps)(1pr))7 poin adalah

6pr6ps+90pr5ps2105pr6ps2+300pr4ps3840pr5ps3+560pr6ps3+300pr3ps41575pr4ps4+2520pr5ps41260pr6ps4+90pr2ps5840pr3ps5+2520pr4ps53024pr5ps5+1260pr6ps5+6prps6105pr2ps6+560pr3ps61260pr4ps6+1260pr5ps6462pr6ps6+prpsprps+(1pr)(1ps)(pr6+36pr5ps42pr6ps+225pr4ps2630pr5ps2+420pr6ps2+400pr3ps32100pr4ps3+3360pr5ps31680pr6ps3+225pr2ps42100pr3ps4+6300pr4ps47560pr5ps4+3150pr6ps4+36prps5630pr2ps5+3360pr3ps57560pr4ps5+7560pr5ps52772pr6ps5+ps642prps6+420pr2ps61680pr3ps6+3150pr4ps62772pr5ps6+924pr6ps6)

Jika maka peluang untuk memenangkan tie-breaker adalah sekitar 51,67 % .ps=0.65,pr=0.3651.67%

Selanjutnya, pertimbangkan satu set. Tidak masalah siapa yang melakukan servis terlebih dahulu, yang mana nyaman karena jika tidak kita harus mempertimbangkan memenangkan set sementara memiliki servis versys berikutnya memenangkan set tanpa menjaga servis. Untuk memenangkan set ke game, Anda dapat membayangkan bahwa 10 game dimainkan terlebih dahulu. Jika skor terikat 5 - 5 maka mainkan 2 pertandingan lagi. Jika itu tidak menentukan pemenang, maka mainkan tie-breaker, atau di set kelima ulangi saja mainkan permainan. Biarkan p h menjadi probabilitas memegang servis, dan biarkan p b610552phpbmenjadi probabilitas mematahkan servis lawan Anda, yang dapat dihitung di atas dari probabilitas untuk memenangkan permainan. Kesempatan untuk memenangkan set tanpa tiebreak berikut rumus dasar yang sama seperti kesempatan untuk memenangkan tie-breaker, kecuali bahwa kita bermain untuk game bukan ke 7 poin, dan kami ganti p s oleh p h dan p r oleh p b .67psphprpb

Peluang bersyarat untuk memenangkan set kelima (set tanpa tie-breaker) dengan dan p r = 0,36 adalah 53,59 % .ps=0.65pr=0.3653.59%

Kesempatan untuk memenangkan satu set dengan tie-breaker dengan dan p r = 0,36 adalah 53,30 % .ps=0.65pr=0.3653.30%

Peluang untuk memenangkan pertandingan terbaik set, tanpa tie-breaker di set kelima, dengan p s = 0,65 dan p r = 0,36 adalah 56,28 % .5ps=0.65pr=0.3656.28%

ps=0.65,pr=0.362456.22%2556.34%232411356.27%11456.29%

Ini menunjukkan bahwa bermain satu set raksasa tidak lebih efisien daripada yang terbaik dari 5 pertandingan, tetapi bermain satu tie-breaker raksasa akan lebih efisien, setidaknya untuk pesaing yang cocok yang memiliki keunggulan melayani.


51%

1357.51%454.1154.115×21.96=90.374582.35

132929

137  1213  111336333633ekor, Anda memiliki bukti bahwa kepala lebih mungkin daripada ekor, bukan bahwa ekor lebih mungkin daripada kepala. Jadi, yang terbaik dari tiga pertandingan tidak efisien karena membuang-buang informasi. Serangkaian pertandingan membutuhkan lebih banyak data rata-rata karena kadang-kadang penghargaan kemenangan untuk pemain yang telah memenangkan lebih sedikit pertandingan.

Douglas Zare
sumber
Benar-benar luar biasa! Apakah ada lencana untuk ekspresi lateks terbesar yang pernah ada? Saya tidak mengerti kesimpulannya - pasti 25 game kurang dari biasanya dimainkan? Jika naik ke set kelima, Anda bermain setidaknya 30 pertandingan, dan bahkan kemenangan 6: 4 6: 4 6: 4 adalah 30 pertandingan?
Corone
1
25252045
Ah ya, maaf, masuk akal. Jawaban yang bagus
Corone
LATEX
1
Artikel ini memiliki beberapa analisis tie-breaker, dan apakah mereka mendukung server yang lebih kuat: heavytopspin.com/2012/10/30/the-struktural-biases-of-tiebreaks
Douglas Zare