Perbedaan variabel acak Gamma

Saya akan menguraikan bagaimana masalahnya dapat didekati dan menyatakan apa yang saya pikir hasil akhirnya akan untuk kasus khusus ketika parameter bentuk adalah bilangan bulat, tetapi tidak mengisi rinciannya.

Pertama, perhatikan bahwa mengambil nilai dalam dan memiliki dukungan . $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
Kedua, dari hasil standar bahwa kepadatan jumlah dua variabel acak kontinu independen adalah konvolusi kepadatannya, yaitu, dan bahwa kepadatan variabel acak adalah , simpulkan bahwa
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
Ketiga, untuk variabel acak non-negatif dan , perhatikan bahwa ungkapan di atas menyederhanakan untuk $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
Akhirnya, menggunakan parametrization untuk mengartikan variabel acak dengan densitas , dan dengan dan variabel acak , kita memiliki yang Demikian pula, untuk , $\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

Integral ini tidak mudah untuk dievaluasi tetapi untuk kasus khusus , Gradshteyn dan Ryzhik, Tabel Integral, Seri, dan Produk, Bagian 3.383, mencantumkan nilai dalam hal fungsi polinomial, eksponensial, dan Bessel dari dan ini dapat digunakan untuk menuliskan ekspresi eksplisit untuk . $s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

Dari sini, kita mengasumsikan bahwa dan adalah bilangan bulat $s$ $t$ sehingga adalah polinomial dalam dan derajat dan adalah polinomial dalam dan derajat . $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

Untuk , integral adalah jumlah integral Gamma sehubungan dengan dengan koefisien . Oleh karena itu, kerapatan sebanding dengan kerapatan campuran variabel acak untuk . Perhatikan bahwa hasil ini akan bertahan meskipun bukan bilangan bulat. $z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
Demikian pula, untuk , kerapatan sebanding dengan kerapatan campuran variabel acak dibalik selesai , yaitu, ia akan memiliki istilah seperti alih-alih yang biasa . Selain itu, hasil ini akan bertahan meskipun bukan bilangan bulat. $z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

Dilip Sarwate
sumber

+1: Setelah melihat masalah ini sebelumnya, saya menemukan jawaban ini menarik.

Neil G

Saya akan menerima jawaban ini meskipun tampaknya tidak ada solusi bentuk tertutup. Sedekat mungkin, terima kasih!

FBC

Saya suka alasan di sini, tapi saya bertanya-tanya apakah ada ukuran di mana langkah kedua istirahat, yaitu, ?

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

mpacer

@mpacer Tidak, selalu berlaku. Ini adalah hasil umum yang tidak memerlukan asumsi (normalitas, Gamma-eity, RV positif dll). Untuk kasus khusus dari variabel acak positif (yaitu, ), adalah variabel acak negatif yang mengambil nilai kurang dari dengan probabilitas .

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Dilip Sarwate

@mpacer Jika adalah variabel acak positif dengan kerapatan , maka tidak benar bahwa tidak terdefinisi untuk . Bahkan, yang didefinisikan sebagai memiliki nilai untuk . Dengan demikian, untuk semua angka positif , dan kepadatan adalah kepadatan "terbalik" sehubungan dengan titik asal (atau sumbu vertikal jika Anda lebih suka.) Saya tidak "menafsirkan"

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$ operator berbeda, yang menuntut gagasan "tepat" yang akan mendukung gagasan Anda bahwa domain adalah saja

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

Dilip Sarwate

Perbedaan variabel acak Gamma

Jawaban: