Perbedaan konseptual antara heteroskedastisitas dan non-stasioneritas

Saya mengalami kesulitan untuk membedakan antara konsep skedastik dan stasioner. Seperti yang saya pahami, heteroskedastisitas adalah variabilitas yang berbeda dalam sub-populasi dan non-stasioneritas adalah perubahan mean / varians dari waktu ke waktu.

Jika ini adalah pemahaman yang benar (walaupun simplistis), apakah ketidaktentuan hanya merupakan kasus heteroskedastisitas spesifik sepanjang waktu?

Untuk memberikan definisi yang tepat, misalkan $X_1, \ldots, X_n$ menjadi variabel acak bernilai nyata.

Stasioneritas biasanya hanya didefinisikan jika kita menganggap indeks variabel sebagai waktu . Dalam hal ini urutan variabel acak adalah stasioner memiliki distribusi yang sama dengan . Ini menyiratkan, khususnya, bahwa untuk semua memiliki distribusi marginal yang sama dan dengan demikian berarti marginal dan varians yang sama (mengingat bahwa mereka memiliki momen kedua terbatas).$X_1, \ldots, X_{n-1}$$X_2, \ldots, X_n$$X_i$$i = 1, \ldots, n$

Makna heteroskedastisitas dapat tergantung pada konteksnya. Jika varian marginal dari perubahan dengan (bahkan jika rerata konstan) variabel acak disebut heteroscedastic dalam arti tidak menjadi homoscedastic.$X_i$$i$

Dalam analisis regresi, kami biasanya mempertimbangkan varians respon secara kondisional pada regressor, dan kami mendefinisikan heteroskedastisitas sebagai varian bersyarat non-konstan.

Dalam analisis deret waktu, di mana terminologi heteroscedasticity kondisional adalah umum, minat biasanya dalam varian bersyarat pada . Jika varian bersyarat ini tidak konstan, kami memiliki heteroskedastisitas bersyarat. Model ARCH (autoregresif conditional heteroscedasticity) adalah contoh paling terkenal dari model deret waktu stasioner dengan varian bersyarat non-konstan.$X_k$$X_{k-1}, \ldots, X_1$

Heteroscedasticity (heteroscedasticity bersyarat pada khususnya) tidak menyiratkan non-stasioneritas secara umum.

Stasioneritas penting karena sejumlah alasan. Salah satu konsekuensi statistik sederhana adalah bahwa rata-rata kemudian merupakan penaksir yang tidak bias dari ekspektasi (dan dengan asumsi ergodisitas , yang sedikit lebih daripada stasioneritas dan sering diasumsikan secara implisit, rata-rata adalah penduga yang konsisten dari ekspektasi untuk ).

Pentingnya heteroscedasticity (atau homoscedasticity) adalah, dari sudut pandang statistik, terkait dengan penilaian ketidakpastian statistik misalnya perhitungan interval kepercayaan. Jika perhitungan dilakukan dengan asumsi homoseksualitas sementara data sebenarnya menunjukkan heteroskedastisitas, interval kepercayaan yang dihasilkan dapat menyesatkan.

Rangkaian waktu stasioner jika semua sifat statistiknya tidak bergantung pada asal waktu. Jika persyaratan ini tidak terpenuhi, deret waktu tidak stasioner.

Bahkan deret waktu stasioner tidak dapat dijelaskan hanya berdasarkan satu catatan sampel. Properti statistiknya harus dianalisis dengan rata-rata atas ensemble catatan sampel pada waktu yang berbeda.

Jika sifat statistik sama untuk setiap catatan sampel individu dan untuk kasus ketika mereka ditentukan melalui rata-rata ensemble, deret waktu adalah ergodik.

Karena sifat statistik dari rangkaian waktu heteroscedactic bergantung pada waktu, ia tidak diam dan, tentu saja, tidak ergodik. Sifat-sifatnya ditentukan untuk catatan sampel tunggal tidak dapat diperluas ke perilaku masa lalu dan masa depannya.

Secara kebetulan, analisis korelasi / regresi tidak dapat diterapkan pada deret waktu karena ketergantungan di antara mereka (fungsi koherensi) bergantung pada frekuensi dan dapat dikarakterisasi melalui persamaan persamaan perbedaan stokastik (multivariat) (domain waktu) atau fungsi respons frekuensi (domain frekuensi).

Memperluas analisis regresi yang dikembangkan untuk variabel acak ke deret waktu adalah salah (mis. Lihat Bendat dan Piersol, 2010; Box et al., 2015).

Ada 3 derajat stasioner. Bentuk lemah membutuhkan rata-rata dan varians dijaga konstan. Ini berarti bahwa dari 3 definisi stasioner adalah persyaratan yang lebih kuat daripada heteroskedastisitas karena heteroskedastisitas berarti varian konstan, tanpa mengacu pada rata-rata.

Suatu proses dapat memiliki heteroskedastisitas. Tetapi jika rata-rata tidak konstan, maka prosesnya tidak (lemah) stasioner.

Sebuah proses stasioner (mari kita menandainya dengan 'S') menyiratkan homoscedasticity (mari kita tandai dengan 'H'). Jadi S -> H.

Tentu saja alatnya juga benar . Jadi H '-> S', yaitu non-homoscedasticity menyiratkan non-stasioner.

Tetapi inversi dan negasi tidak benar . Dengan kata lain:

"Non-stasioner menyiratkan non-homoseksualitas" tidak benar.

"Ada proses stasioner yang non-homoseksualitas" tidak benar.