Saya menemukan distribusi ini dalam permainan komputer dan ingin belajar lebih banyak tentang perilakunya. Itu datang dari keputusan, apakah suatu peristiwa tertentu harus terjadi setelah sejumlah tindakan pemain. Detail di luar ini tidak relevan. Tampaknya berlaku untuk situasi lain, dan saya merasa menarik karena mudah untuk menghitung dan membuat ekor panjang.
Setiap langkah , game menghasilkan angka acak seragam . Jika , maka acara tersebut dipicu. Setelah peristiwa itu terjadi, permainan mengatur ulang dan menjalankan kembali urutan tersebut. Saya hanya tertarik pada satu kejadian acara untuk masalah ini, karena itu mewakili distribusi yang digunakan permainan. (Juga, setiap pertanyaan tentang beberapa kejadian dapat dijawab dengan model kejadian tunggal.)0 ≤ X < 1 X < p ( n ) n = 0
"Kelainan" utama di sini adalah bahwa parameter probabilitas dalam distribusi ini meningkat seiring waktu, atau dengan kata lain, ambang batas naik seiring waktu. Dalam contoh itu berubah secara linear tetapi saya kira aturan lain bisa berlaku. Setelah langkah, atau tindakan oleh pengguna,
untuk beberapa konstanta . Pada titik tertentu , kita mendapatkan p (n _ {\ max}) \ geq 1 . Acara dijamin hanya akan terjadi pada langkah itu.Maks 0 < k < 1
Saya bisa menentukan itu
F ( n ) = p ( n ) + F ( n - 1 ) [ 1 - p ( n ) ] f ( n ) F ( n ) n p ( n )
Berikut plot dari teman kami Monte Carlo, untuk bersenang-senang, dengan . Median berhasil ke 21 dan rata-rata ke 22.
Ini secara luas setara dengan persamaan perbedaan tingkat pertama dari pemrosesan sinyal digital, yang merupakan latar belakang saya, dan saya menemukan hal itu cukup baru. Saya juga tertarik dengan gagasan bahwa dapat bervariasi sesuai dengan rumus arbitrer apa pun.
Pertanyaan saya:
- Apa nama distribusi ini, jika ada?
- Apakah ada cara untuk memperoleh ekspresi untuk tanpa referensi ke ?F ( n )
- Apakah ada contoh lain dari distribusi rekursif diskrit seperti ini?
Mengedit proses Klarifikasi tentang pembuatan angka acak.
Jawaban:
Dalam arti tertentu, apa yang telah Anda lakukan adalah mengkarakterisasi semua distribusi bernilai integer non-negatif.
Mari kita kesampingkan deskripsi proses acak sejenak dan fokus pada rekursi dalam pertanyaan.
Jika , maka tentunya . Jika kita menulis ulang rekursi kedua ini dalam hal fungsi survival (di mana memiliki distribusi ), kita mendapatkan sesuatu yang sangat sugestif dan mudah ditangani. Jelas, dan karenanya Jadi, selama urutan kita mengambil nilai dalam dan tidak konvergen terlalu cepat ke nol, maka kita akan memperoleh fungsi survival yang valid (yaitu, menurun secara monoton menjadi nol sebagai ).F n = p n + ( 1 - p n ) F n - 1 S n = 1 - F n = P ( T > n ) T F S n = 1 - F n = ( 1 - p n ) S nfn=pn(1−Fn−1) Fn=pn+(1−pn)Fn−1 Sn=1−Fn=P(T>n) T F S n = n ∏ k = 0 ( 1 - p k )
Lebih spesifik,
Dengan demikian, rekursi yang ditulis dalam pertanyaan sepenuhnya bersifat umum : Setiap distribusi bernilai integer non-negatif memiliki urutan yang sesuai mengambil nilai adalah .[ 0 , 1 ](pn) [0,1]
Namun, kebalikannya tidak benar; yaitu, ada urutan dengan nilai dalam yang tidak sesuai dengan distribusi yang valid. (Khususnya, pertimbangkan untuk semua dan untuk )(pn) [0,1] 0<pn<1 n≤N pn=0 n>N
Tapi, tunggu, masih ada lagi!
Kami telah mengisyaratkan koneksi ke analisis survival dan perlu mengeksplorasi ini sedikit lebih dalam. Dalam analisis survival klasik dengan distribusi benar-benar terus menerus dan sesuai kepadatan , yang fungsi bahaya didefinisikan sebagaiF f
The hazard kumulatif kemudian dan analisis sederhana derivatif menunjukkan bahwa Dari ini, kami dapat segera memberikan karakterisasi fungsi bahaya yang dapat diterima: Ini adalah fungsi apa pun yang dapat diukur sedemikian hingga untuk semua dan sebagai .Λ(t)=∫t0h(s)ds
Kami mendapatkan rekursi yang serupa untuk fungsi survival dengan yang di atas dengan memperhatikan bahwa untukt>t0
Amati secara khusus bahwa kita dapat memilih agar konstan sebagian dengan masing-masing bagian memiliki lebar 1 dan sedemikian rupa sehingga integral menyatu menjadi tak terbatas. Ini akan menghasilkan fungsi survival yang cocok dengan setiap bilangan bulat non-negatif yang diinginkan bernilai satu pada setiap bilangan bulat positif.h(t) S(t)
Menghubungkan kembali ke kasing diskrit
Untuk mencocokkan diskrit diinginkan pada setiap bilangan bulat, kita harus memilih fungsi bahaya yang konstan konstan sehingga pada . Hal ini memberikan bukti kedua dari kondisi yang diperlukan untuk urutan untuk menentukan distribusi valid.S(n)
Perhatikan bahwa, untuk kecil , yang menyediakan koneksi heuristik antara fungsi bahaya dari distribusi kontinu dan distribusi diskrit dengan fungsi survival yang cocok pada bilangan bulat.pn −log(1−pn)≈pn=fn/Sn−1
Catatan tambahan : Sebagai catatan akhir, contoh dalam pertanyaan tidak memenuhi kondisi yang diperlukan tanpa modifikasi yang sesuai untuk pada dan pengaturan untuk semua .pn=kn fn n=⌈k−1⌉ fn=0 n>⌈k−1⌉
sumber
Dalam kasus , kami memiliki beberapa properti yang dikenal. Kita bisa menyelesaikan hubungan perulanganp(n)=p<1
punya solusinya
Kasus yang lebih umum dari mungkin tidak dapat dihitung dalam bentuk tertutup, dan dengan demikian kemungkinan tidak memiliki distribusi yang diketahui.p(n)
Kasus lain:
sumber