Distribusi dengan

16

Apakah ada informasi di luar sana tentang distribusi yang n cumulant th diberikan oleh 1n ? Fungsi penghasil kumulant adalah dalam bentuk

κ(t)=01etx1x dx.
Saya telah menjalankannya sebagai distribusi terbatas dari beberapa variabel acak tetapi saya belum dapat menemukan informasi tentang itu.
orang
sumber
Saya tidak dapat melihat bahwa fungsi ini Anda berikan memiliki properti yang diklaim! Anda harus merevisi pekerjaan Anda. Mendekati eksponensial n integran mendekati nol dengan 1 + t x , integran mendekati nol menjadi t / x , begitu juga divergen. Sehingga integral itu tidak bisa mewakili fungsi pembangkit kumulant. κ(t)1+txt/x
kjetil b halvorsen
@kjetilbhalvorsen tidak yakin saya ikuti. Mendekati dengan 1 + t x memberikan t xetx1+txuntuk integrand. Juga, menurutinifungsi yang saya berikan memiliki integral yang diketahui dalam hal hiperbolik cosinus dan integral sinus. Untuk menunjukkan bahwaκ(t)memiliki properti mengaku hanya melakukan serangkaian Taylor penuh sekitar0untuketxdan mendorong terpisahkan melalui penjumlahan untuk mendapatkan seri Taylor untukκ(t)sekitar0. txx=tκ(t)0etxκ(t)0
pria
sympy mengatakan integralnya berbeda (dengan cara eksentriknya sendiri!). Tapi sympy pasti salah, saya mengerti sekarang, bereksperimen dengan beberapa integrasi numerik, dan berfungsi dengan baik. Akan coba lagi.
kjetil b halvorsen
Melihat hasil alfabet Wolphram, itu juga tidak bisa benar, ia memiliki batas non-nol ketika t mendekati nol, sementara jelas. κ(0)=0
kjetil b halvorsen
2
Saya percaya ini benar-benar berkelanjutan pada . Ini direalisasikan sebagai batas variabel acak Poisson kompoud; sebagai n Poisson majemuk dengan nilai 1 1 / n 1(0,)ndan kepadatan distribusi lompatfn(x)11/n11x dxkonvergen lemah untuk distribusi ini. fn(x)1xI(1/n<x<1)
pria

Jawaban:

8

Mengetahui nilai-nilai kumulans memungkinkan kita untuk mendapatkan gambaran tentang bagaimana grafik distribusi probabilitas ini akan terlihat. Mean dan varians dari distribusi adalah

E[Y]=κ1=1,Var[Y]=κ2=12

sedangkan koefisien miring dan kelebihan kurtosis adalah

γ1=κ3(κ2)3/2=(1/3)(1/2)3/2=223

γ2=κ4(κ2)2=(1/4)(1/2)2=1

Jadi ini bisa menjadi grafik yang tampak akrab dari variabel acak positif yang menunjukkan kemiringan positif. Adapun menemukan distribusi probabilitas, pendekatan pengrajin ini bisa untuk menentukan distribusi probabilitas diskrit generik, mengambil nilai-nilai dalam , dengan probabilitas yang sesuai { p 0 , p 1 , . . . , p m } ,{0,1,...,m} , dan kemudian menggunakan kumulans untuk menghitung momen mentah, dengan tujuan membentuk sistem persamaan linear dengan probabilitas yang tidak diketahui. Cumulants terkait dengan momen mentah oleh κ n = μ ' n - n - 1 Σ i = 1 ( n - 1{p0,p1,...,pm},k=0mpk=1 Dipecahkan untuk lima momen mentah pertama yang diberikan (nilai numerik pada akhir khusus untuk kumulans dalam kasus kami) μ1 =κ1=1μ2 =κ2+κ 2 1 =3/2μ ' 3 =κ3+3κ2κ1+κ 3 1

κn=μni=1n1(n1i1)κiμni
μ1=κ1=1μ2=κ2+κ12=3/2μ3=κ3+3κ2κ1+κ13=17/6μ4=κ4+4κ3κ1+3κ22+6κ2κ12+κ14=19/3μ5=κ5+5κ4κ1+10κ3κ2+10κ3κ12+15κ22κ1+10κ2κ13+κ15=243/15
If we (momentarily) set m=5 we have the system of equations

k=05pk=1,k=05pkk=1k=05pkk2=3/2,k=05pkk3=17/6k=05pkk4=19/3,k=05pkk5=243/15s.t.pk0k

Of course we do not want m to be equal to 5. But increasing gradually m (and obtaining the value of the subsequent moments), we should eventually reach a point where the solution for the probabilities stabilizes. Such an approach cannot be done by hand -but I have neither the software access, nor the programming skills necessary to perform such a task.

Alecos Papadopoulos
sumber
This is cool. Maybe I could do some kind of Edgeworth expansion as well? Actually, I have an idea of what the density looks like already (assuming it exists) since I can simulate directly from it. It is very strange - it looks uniform over some range (0,a) and then on (a,) it decays with something like an exponential tail (it's been a long time since I did the simulation).
guy
Thanks. Of course you can always perform an Edgworth expansion based on the cumulants, but I wonder how well it will perform, given the strange shape you describe. It would be interesting to contrast the two.Can you tell me the value for a?
Alecos Papadopoulos
Dug up my old code and found a1. If Yκ(t) then [YY<1] is approximatey U(0,1) and [Y1Y>1] is approximately gamma distributed with shape 1.4 and mean 0.64.
guy
What do you mean by Yκ(t)?
Alecos Papadopoulos
1
So what does the pdf look like then? As for fitting by moments, is the fit 'robust' and 'stable' as one increases the number of moments used (4, 5, 6, 7 or 8 etc), or is it all over the place?
wolfies