Mengapa kita membutuhkan estimator agar konsisten?

Saya pikir, saya sudah mengerti definisi matematika dari penduga yang konsisten. Koreksi saya jika saya salah:

$W_n$ adalah estimator yang konsisten untuk$\theta$ jika$\forall \epsilon>0$

Di mana, $\Theta$ adalah Parametric Space. Tetapi saya ingin memahami perlunya penaksir untuk konsisten. Mengapa estimator yang tidak konsisten buruk? Bisakah Anda memberi saya beberapa contoh?

Saya menerima simulasi dalam R atau python.

Jika estimator tidak konsisten, itu tidak akan konvergen ke nilai sebenarnya dalam probabilitas . Dengan kata lain, selalu ada kemungkinan bahwa penaksir dan nilai sebenarnya Anda akan memiliki perbedaan, tidak peduli berapa banyak poin data yang Anda miliki. Ini sebenarnya buruk, karena bahkan jika Anda mengumpulkan sejumlah besar data, perkiraan Anda akan selalu memiliki probabilitas positif menjadi beberapa $\epsilon>0$ berbeda dari nilai sebenarnya. Secara praktis, Anda dapat mempertimbangkan situasi ini seolah-olah Anda menggunakan penduga jumlah yang bahkan mensurvei semua populasi, bukannya sampel kecil, tidak akan membantu Anda.

Pertimbangkan $n = 10\,000$ pengamatan dari distribusi Cauchy standar, yang sama dengan distribusi t Student dengan 1 derajat kebebasan. Ekor dari distribusi ini cukup berat sehingga tidak berarti; distribusi dipusatkan pada mediannya$\eta = 0.$

Urutan sampel berarti $A_j = \frac 1j \sum_{i=1}^j X_i$tidak konsisten untuk pusat distribusi Cauchy. Secara kasar, kesulitannya adalah bahwa pengamatan yang sangat ekstrim$X_i$(positif atau negatif) terjadi dengan keteraturan yang cukup sehingga tidak ada peluang bagi$A_j$untuk konvergen menjadi$\eta = 0.$($A_j$tidak hanya lambat untuk konvergen, mereka tidak ' tidak pernah konvergen. Distribusi$A_j$lagi standar Cauchy [bukti].)

Sebaliknya, setiap satu langkah dalam proses pengambilan sampel melanjutkan, sekitar setengah dari pengamatan $X_i$ akan berbaring di kedua sisi $\eta,$ sehingga urutan $H_j$ dari median sampel tidak konvergen ke $\eta.$

Kurangnya konvergensi $A_j$ dan konvergensi $H_j$ diilustrasikan oleh simulasi berikut.

set.seed(2019)  # for reproducibility
n = 10000;  x = rt(n, 1);  j = 1:n
a = cumsum(x)/j
h = numeric(n)
for (i in 1:n) {
  h[i] = median(x[1:i])  } 
par(mfrow=c(1,2))
 plot(j,a, type="l", ylim=c(-5,5), lwd=2,
    main="Trace of Sample Mean")
  abline(h=0, col="green2")
  k = j[abs(x)>1000] 
  abline(v=k, col="red", lty="dotted")
 plot(j,h, type="l", ylim=c(-5,5), lwd=2,
     main="Trace of Sample Median")
  abline(h=0, col="green2") 
par(mfrow=c(1,1))

Berikut adalah daftar langkah-langkah di mana $|X_i| > 1000.$ Anda dapat melihat efek dari beberapa pengamatan ekstrem ini terhadap rata-rata berlari di plot di sebelah kiri (di garis putus-putus merah vertikal).

k = j[abs(x)>1000]
rbind(k, round(x[k]))
   [,1] [,2] [,3]  [,4] [,5]  [,6]   [,7]  [,8]
k   291  898 1293  1602 2547  5472   6079  9158
  -5440 2502 5421 -2231 1635 -2644 -10194 -3137

Konsistensi dalam estimasi penting: Dalam pengambilan sampel dari populasi Cauchy, rata-rata sampel dari sampel $n = 10\,000$ pengamatan tidak lebih baik untuk memperkirakan pusat$\eta$ dari hanya satu pengamatan. Sebaliknya, median sampel konsisten konvergen ke$\eta,$ sehingga sampel yang lebih besar menghasilkan perkiraan yang lebih baik.

Contoh yang sangat sederhana tentang mengapa penting untuk memikirkan konsistensi, yang menurut saya tidak mendapatkan perhatian yang cukup, adalah model yang terlalu disederhanakan.

Sebagai contoh teoretis, anggaplah Anda ingin menyesuaikan model regresi linier pada beberapa data, di mana efek sebenarnya sebenarnya non-linear. Maka prediksi Anda tidak dapat konsisten untuk mean sebenarnya untuk semua kombinasi kovariat, sementara yang lebih fleksibel mungkin bisa. Dengan kata lain, model yang disederhanakan akan memiliki kekurangan yang tidak dapat diatasi dengan menggunakan lebih banyak data.

@BruceET telah memberikan jawaban teknis yang sangat baik, tetapi saya ingin menambahkan poin tentang interpretasi dari semuanya.

Salah satu konsep dasar dalam statistik adalah bahwa dengan bertambahnya ukuran sampel, kami dapat mencapai kesimpulan yang lebih tepat tentang distribusi yang mendasarinya. Anda bisa menganggapnya sebagai gagasan bahwa mengambil banyak sampel menghilangkan jitter acak dalam data, jadi kami mendapatkan gagasan yang lebih baik tentang struktur yang mendasarinya.

$(X_i)_{i\in\mathbb{N}} \ $$\mathbb{E}[X_1] < \infty$

Sekarang, meminta penaksir untuk konsisten adalah menuntut bahwa ia juga mengikuti aturan ini: Karena tugasnya adalah memperkirakan parameter yang tidak diketahui, kami ingin konvergen ke parameter itu (baca: memperkirakan parameter itu dengan sewenang-wenang) sebagai sampel kami ukuran cenderung tak terbatas.

Persamaannya

$W_n$$\theta$

$[\theta - \varepsilon, \theta + \varepsilon]$$\theta$