Pembaruan (2019-06-25): mengubah judul dari "Apakah model MA yang tidak dapat dibalik masuk akal?" untuk membedakannya dari Pertanyaan 333802 .

Saat mengulas MA ($q$) model, saya menemukan slide ini (Alonso dan Garcia-Martos, 2012). Penulis menyatakan bahwa, meskipun semua proses MA stasioner, jika mereka tidak dapat dibalik, Anda memilikinya

" Situasi paradoks di mana efek pengamatan masa lalu meningkat seiring dengan jarak. "

Ini dapat dilihat dalam dekomposisi proses MA (1):

$$y_t = \epsilon_t - \theta \epsilon_{t-1}$$ ke $$y_t = \epsilon_t -\sum_{i=1}^{t-1} \theta ^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0,$$ dimana jelas $|\theta|>1$diterjemahkan ke dalam sejarah yang memiliki semakin banyak pengaruh atas masa kini. Dua hal tentang ini mengganggu saya:

1. Tidak sulit membayangkan situasi di mana ada jeda waktu satu kali dalam efek sesuatu
2. Posting Validasi Silang ini memiliki jawaban yang mengklaim:

" Invertibilitas bukanlah masalah besar karena hampir semua model MA (q) Gaussian, non-invertible dapat diubah menjadi model MA (q) yang dapat dibalik yang mewakili proses yang sama "

Benarkah efek pengamatan di masa lalu meningkat seiring dengan jarak? Jika demikian, apakah itu membuat model tidak cocok untuk menggambarkan fenomena dunia nyata?

Pembaruan (2019-11-09) Menemukan ini dalam teks Analisis Rangkaian Waktu dan Aplikasinya (Shumway dan Stoffer, halaman 85) yang juga mendukung kasus bahwa tidak masalah jika model MA dalam non-invertible, tetapi kami mungkin ingin memilih versi model yang tidak dapat dibalik untuk kenyamanan.

Bukan masalah besar - sangat diam dan mendekati white noise

Yang tidak bisa dibalik $\text{MA}(1)$proses masuk akal, dan itu tidak menunjukkan perilaku yang aneh. Mengambil versi proses Gaussian, untuk vektor apa pun$\mathbf{y} = (y_1,...,y_n)$ terdiri dari pengamatan berurutan, kami miliki $\mathbf{y} \sim \text{N}(\mathbf{0}, \mathbf{\Sigma})$ dengan kovarians:

$$\mathbf{\Sigma} \equiv \frac{\sigma^2}{1+\theta^2} \begin{bmatrix} 1+\theta^2 & -\theta & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ -\theta & 1+\theta^2 & -\theta & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & - \theta & 1+\theta^2 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1+\theta^2 & -\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & -\theta & 1+\theta^2 & -\theta \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 0 & -\theta & 1+\theta^2 \\ \end{bmatrix}.$$

Seperti yang Anda lihat, ini adalah proses yang sangat diam, dan pengamatan yang terpisah lebih dari satu lag adalah independen, bahkan ketika $|\theta|>1$. Ini tidak mengejutkan, mengingat fakta bahwa pengamatan tersebut tidak memiliki pengaruh apa pun dari proses white noise yang mendasarinya. Tampaknya tidak ada perilaku apa pun di mana "pengamatan masa lalu meningkat seiring dengan jarak", dan persamaan yang Anda nyatakan tidak menunjukkan hal ini (lihat di bawah untuk diskusi lebih lanjut).

Bahkan, seperti $|\theta| \rightarrow \infty$(yang merupakan kasus paling ekstrim dari fenomena yang Anda pertimbangkan) model ini berkurang secara asimptotik menjadi proses white noise sepele. Ini benar-benar tidak mengejutkan, mengingat fakta bahwa koefisien besar pada istilah kesalahan pertama-tertinggal mendominasi koefisien satuan pada jangka waktu kesalahan bersamaan, dan menggeser model secara asimptotik menuju bentuk$y_t \rightarrow \theta \epsilon_{t-1}$, yang hanya versi skala dan bergeser dari proses white noise yang mendasarinya.

---

Catatan tentang persamaan Anda: Dalam persamaan dalam pertanyaan Anda, Anda menulis nilai saat ini dari deret waktu yang dapat diamati sebagai jumlah geometris yang meningkat dari nilai masa lalu, ditambah istilah kesalahan sisa. Ini ditegaskan untuk menunjukkan bahwa "efek pengamatan masa lalu meningkat seiring dengan jarak". Namun, persamaannya melibatkan sejumlah besar syarat pembatalan. Untuk melihat ini, mari perluas istilah-istilah yang dapat diamati sebelumnya untuk menunjukkan pembatalan persyaratan:

$$\begin{equation} \begin{aligned} y_t &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i y_{t-i} - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - \sum_{i=1}^{t-1} \theta^i (\epsilon_{t-i} - \theta \epsilon_{t-i-1}) - \theta^t \epsilon_0 \\[6pt] &= \epsilon_t - ( \theta \epsilon_{t-1} - \theta^2 \epsilon_{t-2} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^2 \epsilon_{t-2} - \theta^3 \epsilon_{t-3} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad - ( \theta^3 \epsilon_{t-3} - \theta^4 \epsilon_{t-4} ) \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - \ \cdots \\[6pt] &\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \ \ \ - ( \theta^{t-1} \epsilon_1 - \theta^t \epsilon_0 ). \\[6pt] \end{aligned} \end{equation}$$

We can see from this expansion that the geometrically increasing sum of past values of the observable time series is there solely to get the previous error term:

$$\epsilon_{t-1} = \sum_{i=1}^{t-1} \theta^{i-1} y_{t-i} + \theta^{t-1} \epsilon_0.$$

All that is happening here is that you are trying to express the previous error term in an awkward way. The fact that a long cancelling sum of geometrically weighted values of the series is equal to the desired error term does not demonstrate that past observations are having "an effect" on the present time-series value. It merely means that if you want to express $\epsilon_{t-1}$ in terms of $\epsilon_0$ then the only way you can do it is to add in the geometrically weighted sum of the observable series.

I don't think it makes sense to ask for an example "from the real world where they [non-invertible MA models] occur". All you observe is $y_1,y_2,\dots,y_n$. As I try to explain in the post you link to, the joint distribution of these data can almost always (except in the case were the MA polynomial has one or more unit roots) be identically modelled as generated by either a number of non-invertible MA models or by a corresponding invertible MA model. Based on the data alone, there is therefore no way of knowing if the "real world" underlying mechanism corresponds to that of a non-invertible or invertible model. And ARIMA models are anyhow not intended as mechanistic models of the data-generating process in the first place.

So this just boils down to restricting the parameter space to that of invertible models to make the model identifiable with the added benefit of having a model that is easily put into AR$(\infty)$ form.