Apakah nilai absolut dari seri stasioner juga stasioner?

8

Saya tahu bahwa transformasi linear dari deret waktu yang timbul dari proses stasioner (lemah) juga stasioner. Apakah ini benar, bagaimanapun, untuk transformasi seri melalui pengambilan nilai absolut dari setiap elemen juga? Dengan kata lain, jika stasioner, maka apakah stasioner juga? $\{x_i,i\in\mathbb{N}\}$ $\{|x_i|,i\in\mathbb{N}\}$

time-series data-transformation stationarity Arthur Campello
sumber

1

Hanya catatan tentang terminologi: Bagi saya, stasioner berarti bahwa semua distribusi dimensi-terbatas adalah invarian bergeser. Dengan definisi ini, jawabannya jelas "ya". Jika Anda bermaksud bahwa hanya mean dan kovarian distribusi berdimensi-terbatas yang berubah-ubah invarian (yang saya sebut "lemah stasioner"), maka jawabannya jelas tidak, seperti yang ditunjukkan oleh jawaban Yves. Tidak ada alasan untuk mengharapkan bahwa | X | dikendalikan oleh X dan X ^ 2. Jika dengan "stasioner lemah" yang Anda maksudkan bahwa hanya mean yang invarian, seperti FransRodenburg, Anda harus mengubah terminologi Anda.

Bananach

6

Dalam satu kasus tertentu ini agak benar:

Jika deret waktu Anda stasioner dengan kesalahan yang terdistribusi normal, maka nilai absolut dari deret waktu asli Anda mengikuti distribusi normal yang dilipat stasioner. Karena bahkan stasioneritas yang lemah berarti baik mean dan varians konstan dari waktu ke waktu, nilai absolut juga akan stasioner. Untuk distribusi lain, ini berarti bahwa nilai absolut dari deret waktu asli paling tidak stasioner, karena varians konstan dari nilai asli diterjemahkan ke nilai tengah konstan dari nilai baru.

Namun, jika deret waktu asli Anda hanya memiliki rerata konstan, varians dapat berubah seiring waktu, yang akan memengaruhi rerata nilai absolut. Oleh karena itu, nilai absolut tidak akan (lemah) diam sendiri.

Jawaban yang lebih umum akan memerlukan beberapa studi tentang fungsi pembangkit momen dari nilai absolut dari variabel acak. Mungkin seseorang dengan latar belakang matematika lebih bisa menjawab itu.

Frans Rodenburg
sumber

1

Dalam deret waktu stasioner yang lemah, varians tidak dapat berubah seiring waktu; itu adalah sebuah konstanta. Jadi tolong jelaskan apakah itu adalah varian dari seri waktu asli atau varian dari nilai absolut yang Anda diskusikan dalam kalimat itu.

Dilip Sarwate

@DilipSarwate Anda benar, saya membingungkan terminologi dan mengedit jawaban saya.

Frans Rodenburg

3

Biarkan menjadi deret waktu di mana adalah variabel acak diskrit yang mengambil nilai dengan probabilitas yang sama . Mudah diverifikasi bahwa dan dan dengan demikian prosesnya tidak bergerak. Ini juga jelas tidak sepenuhnya diam karena dan , $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $X_n$ $\cos(n), \sin(n), -\cos(n), -\sin(n)$ $\frac 14$ $E[X_n] = 0$

\begin{aligned} E [X_{m} X_{m + n}] & = \frac{1}{4} [\cos (m) \cos (m + n) + \sin (m) \sin (m + n) \\ = + (- \cos (m)) (- \cos (m + n)) + (- \sin (m)) (- \sin (m + n))] \\ = \frac{1}{2} [\cos (m) \cos (m + n) + \sin (m) \sin (m + n)] \\ = \frac{1}{2} \cos (n) \end{aligned}

$\begin{align}E[X_mX_{m+n}] &= \frac 14\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\\ &= ~~~~~ + (-\cos(m))(-\cos(m+n))+(-\sin(m))(-\sin(m+n))\bigg]\\ &= \frac 12\bigg[\cos(m)\cos(m+n)+\sin(m)\sin(m+n)\bigg]\\ &= \frac 12\,\cos(n)\end{align}$

X_{0}

$X_0$

X_{n}

$X_n$

n \neq 0

$n\neq 0$ mengambil nilai yang berbeda dan distribusi dan berbeda daripada sama seperti yang diperlukan (bersama dengan banyak persyaratan lainnya) untuk stasioneritas yang ketat.

X_{n}

$X_n$

X_{m}

$X_m$

Untuk proses lemah stasioner dijelaskan di atas, proses adalah tidak lemah stasioner karena tidak konstan seperti yang dibutuhkan untuk stasioneritas lemah (meskipun itu adalah benar bahwa fungsi autokorelasi adalah fungsi sendiri). $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $E[|X_n|] = \left.\left.\frac 12\right[\cos(n) + \sin(n)\right]$ $E[|X_m|\cdot|X_{m+n}|]$ $n$

Di sisi lain, seperti dicatat oleh @bananach dalam komentar pada pertanyaan utama, jika stasioneritas diartikan sebagai stasioneritas yang ketat , maka stasioneritas ketat dari menyiratkan bahwa juga merupakan proses stasioner yang ketat. Proses stasioner yang ketat dengan varian terbatas juga merupakan proses stasioner yang lemah, dan dengan demikian untuk subkelas ini, memang benar bahwa stasioneritas lemah menyiratkan stasioneritas lemah dari . Tetapi, seperti yang dijelaskan pada bagian pertama dari jawaban ini, orang tidak dapat selalu menyimpulkan bahwa stasioneritas lemah $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$ $\{X_n\colon n \in \mathbb Z\}$ menyiratkan stasioneritas lemah dari . $\{|X_n|\colon n \in \mathbb Z\}$

Dilip Sarwate
sumber

2

Jawabannya adalah tidak. Ini dapat dilihat dengan mempertimbangkan urutan r.vs. dengan distribusi marginal mereka diambil dalam keluarga parametrik tergantung pada tiga parameter. Untuk mendapatkan contoh umum, kita dapat mempertimbangkan distribusi yang dapat diparameterisasi ulang dengan menggunakan dua momen pertama bersama dengan momen absolut . Kita kemudian dapat menjaga dua parameter pertama tetap konstan sementara yang ketiga bergantung pada . $X_i$ $\mathbb{E}[|X|]$ $\mathbb{E}[|X_i|]$ $i$

Sebagai contoh khusus kita dapat mengambil distribusi diskrit dengan dukungan ; tiga momen , dan dinyatakan sebagai kombinasi linear dari empat probabilitas . Karena ketiga kombinasi linier ini bebas linear, kita dapat menggunakan tiga momen untuk melakukan parameterisasi ulang sesuai yang diinginkan. $\{-2, \, -1, \, 1, \, 2\}$ $\mathbb{E}[X]$ $\mathbb{E}[X^2]$ $\mathbb{E}[|X|]$ $p_k := \text{Pr}\{X = k\}$

Yves
sumber

Anda memiliki E | X | daripada E [| X |].

Akumulasi

Saya tidak melihat bagaimana Anda dapat menjamin bahwa autocovariance konstan.

Akumulasi

Ya mungkin lebih jelas menggunakan notasi kedua, meskipun keduanya valid.

Yves

Karena independen, demikian puladan autokovarian mereka karenanya adalah nol.

X_{i}

$X_i$

| X_{i} |

$|X_i|$

Yves,

2

Seperti yang ditunjukkan beberapa orang lainnya, stasioneritas yang lemah tidak selalu tersisa ketika Anda mengambil nilai absolut dari rangkaian waktu. Alasan untuk ini adalah bahwa mengambil nilai absolut dari setiap elemen dari time-series dapat mengubah mean dan varians dengan cara yang tidak seragam, karena perbedaan dalam distribusi nilai yang mendasarinya. Meskipun lemah stasioneritas tidak mentransfer dengan cara ini, perlu ada yang stasioneritas kuat tidak tetap berada di bawah transformasi mutlak-nilai.

Ben - Pasang kembali Monica
sumber

Apakah nilai absolut dari seri stasioner juga stasioner?

Jawaban: