Saya ditanya pertanyaan berikut oleh seorang teman. Saya tidak bisa membantunya tetapi saya berharap seseorang dapat menjelaskannya kepada saya. Saya tidak dapat menemukan contoh serupa. Terima kasih atas bantuan dan penjelasannya.
T: Hasil dari 100 percobaan lemparan koin dicatat sebagai 0 = "Ekor" dan 1 = "Kepala". Output x adalah string 0 dan 1 dengan panjang 100. Dan berapa kali kita mendapatkan 1-0-0 dalam x dihitung dan itu adalah 20 (mis: jika x = (001001110100), 1-0-0 terjadi 2 kali). Apakah Anda pikir ini koin yang adil?
probability
inference
bernoulli-distribution
Jimmy Dur
sumber
sumber
Jawaban:
Memecahkan masalah dengan simulasi
Upaya pertama saya adalah mensimulasikan ini di komputer, yang dapat membalik banyak koin dengan sangat cepat. Di bawah ini adalah contoh dengan satu percobaan jutaan. Peristiwa 'bahwa berapa kali pola' 1-0-0 'terjadi dalam membalik koin adalah 20 atau lebih' terjadi kira-kira sekali setiap tiga ribu percobaan, jadi apa yang Anda amati sangat tidak mungkin (untuk pameran) koin).X n = 100
Perhatikan bahwa histrogram adalah untuk simulasi dan garis adalah perhitungan yang tepat dijelaskan lebih lanjut di bawah ini.
Memecahkan masalah dengan perhitungan yang tepat
Untuk pendekatan analitis, Anda dapat menggunakan fakta bahwa 'probabilitas untuk mengamati 20 atau lebih urutan' 1-0-0 'dalam 100 koin membalik sama dengan 1 minus probabilitas yang dibutuhkan lebih dari 100 membalik untuk membuat 20 urutan' . Ini dipecahkan dalam langkah-langkah berikut:
Waktu tunggu untuk kemungkinan membalik '1-0-0'
Distribusi, , dari berapa kali Anda perlu membalik sampai Anda mendapatkan tepat satu urutan '1-0-0' dapat dihitung sebagai berikut:fN, x = 1( n )
Mari kita menganalisis cara untuk mencapai '1-0-0' sebagai rantai Markov. Kami mengikuti negara-negara yang dijelaskan oleh akhiran string flips: '1', '1-0', atau '1-0-0'. Misalnya, jika Anda memiliki delapan membalik berikut 10101100 maka Anda melewati, secara berurutan, delapan negara berikut: '1', '1-0', '1', '1-0', '1', '1', '1-0', '1-0-0' dan butuh delapan membalik untuk mencapai '1-0-0'. Perhatikan bahwa Anda tidak memiliki probabilitas yang sama untuk mencapai status '1-0-0' di setiap flip. Dengan demikian Anda tidak dapat memodelkan ini sebagai distribusi binomial . Sebaliknya, Anda harus mengikuti pohon probabilitas. Negara '1' bisa masuk ke '1' dan '1-0', negara '1-0' bisa masuk ke '1' dan '1-0-0', dan negara '1-0-0' adalah negara yang menyerap. Anda dapat menuliskannya sebagai:
dan probabilitas untuk mencapai pola '1-0-0', setelah menggulung pertama '1' (Anda mulai dengan negara '0', belum membalik kepala), dalam membalik adalah setengah kali probabilitas berada dalam status '1-0' dalam membalik:n n - 1
di mana adalah nomor Fibonnaci ke- . Probabilitas non-kondisional adalah jumlahFsaya saya
Waktu tunggu untuk kemungkinan membalik kali '1-0-0'k
Ini dapat Anda hitung dengan konvolusi.
Anda akan mendapatkan probabilitas untuk mengamati 20 atau lebih pola '1-0-0' (berdasarkan hipotesis bahwa koin itu adil)
Ini adalah kode-R untuk menghitungnya:
Menghitung koin yang tidak adil
Kita dapat menggeneralisasi perhitungan probabilitas untuk mengamati pola dalam flips di atas, ketika probabilitas '1 = head' adalah dan flips independen.x n p
Kami sekarang menggunakan generalisasi angka-angka Fibonacci:
probabilitasnya sekarang adalah:
dan
Ketika kami merencanakan ini, Anda mendapatkan:
Jadi, sementara p-value kecil untuk koin yang adil 0,0003247, kita harus perhatikan bahwa itu tidak jauh lebih baik (hanya satu urutan) untuk berbagai koin tidak adil. Rasio kemungkinan, atau faktor Bayes , adalah sekitar 11 ketika hipotesis nol ( ) dibandingkan dengan hipotesis alternatif . Ini berarti bahwa rasio odds posterior hanya sepuluh kali lebih tinggi daripada rasio odds sebelumnya.p=0.5 p=0.33
Jadi jika Anda berpikir sebelum percobaan bahwa koin itu tidak mungkin tidak adil, maka sekarang Anda harus tetap berpikir koin itu tidak mungkin tidak adil.
Koin dengan tetapi tidak adil tentang kejadian '1-0-0'pheads=ptails
Seseorang bisa lebih mudah menguji probabilitas untuk koin yang adil dengan menghitung jumlah kepala dan ekor dan menggunakan distribusi binomial untuk memodelkan pengamatan ini dan menguji apakah pengamatan itu khusus atau tidak.
Namun mungkin bahwa koin tersebut membalik, rata-rata, jumlah kepala dan ekor yang sama tetapi tidak adil mengenai pola-pola tertentu. Misalnya koin mungkin memiliki beberapa korelasi untuk membalik koin yang berhasil (saya bayangkan beberapa mekanisme dengan rongga di dalam logam koin yang diisi dengan pasir yang akan mengalir seperti jam pasir ke arah berlawanan dari flip koin sebelumnya, yang memuat koin jatuh lebih mungkin di sisi yang sama dengan sisi sebelumnya).
Biarkan flip koin pertama menjadi kepala dan ekor probabilitas yang sama dan flips berikutnya adalah dengan probabilitas sisi yang sama dengan flip sebelumnya. Kemudian simulasi yang sama seperti awal posting ini akan memberikan probabilitas berikut untuk berapa kali pola '1-0-0' melebihi 20:p
Anda dapat melihat bahwa dimungkinkan untuk membuatnya menjadi slighlty lebih mungkin untuk mengamati pola '1-0-0' (sekitar koin yang memiliki korelasi negatif), tetapi yang lebih dramatis adalah seseorang dapat membuatnya lebih sedikit kemungkinan mengabaikan pola '1-0-0'. Untuk rendah Anda mendapatkan berkali-kali ekor setelah kepala, bagian '1-0' pertama dari pola '1-0-0', tetapi Anda tidak mendapatkan begitu sering dua ekor berturut-turut '0-0' bagian dari polanya. Yang sebaliknya berlaku untuk nilai tinggi .p=0.45 p p
Menggunakan matematika dalam statistik
Semua di atas baik-baik saja tetapi itu bukan jawaban langsung untuk pertanyaan itu
Untuk menjawab pertanyaan itu seseorang dapat menggunakan matematika di atas, tetapi orang harus benar-benar pertama-tama menggambarkan dengan sangat baik situasi, tujuan, definisi keadilan, dll. Tanpa pengetahuan latar belakang dan keadaan apa pun perhitungan akan menjadi latihan matematika dan bukan jawaban untuk pertanyaan eksplisit.
Satu pertanyaan terbuka adalah mengapa dan bagaimana kita mencari pola '1-0-0'.
sumber