Mengapa lemma Neyman-Pearson lemma dan bukan teorema?

Ini lebih merupakan pertanyaan sejarah daripada pertanyaan teknis.

Mengapa lemma Neyman-Pearson adalah Lemma dan bukan Teorema?

tautan ke wiki: https://en.wikipedia.org/wiki/Neyman%E2%80%93Pearson_lemma

NB : Pertanyaannya bukan tentang apa itu lemma dan bagaimana lemma digunakan untuk membuktikan teorema, tetapi tentang sejarah lemma Neyman-Pearson. Apakah ini digunakan untuk membuktikan teorema dan kemudian ternyata lebih bermanfaat? Adakah bukti yang menunjukkan kecurigaan bahwa inilah yang terjadi?

hypothesis-testing terminology history neyman-pearson-lemma Tauto
sumber

Terminologi : Sebuah lemma adalah "teorema pembantu", sebuah proposisi dengan penerapan yang kecil kecuali bahwa itu merupakan bagian dari bukti teorema yang lebih besar. Dalam beberapa kasus, ketika kepentingan relatif dari teorema yang berbeda menjadi lebih jelas, apa yang sebelumnya dianggap sebagai lemma sekarang dianggap sebagai teorema, meskipun kata "lemma" tetap ada dalam namanya.

Carl

@ Carl Tentu, tapi mengapa lemma Neyman-Pearson sebuah lemma dan bukan teorema? apakah ada Teorema? dan adakah buktinya? Seperti yang saya katakan, ini adalah pertanyaan sejarah, bukan pertanyaan teknis.

Tauto

Yah, lemma NP digunakan untuk membuktikan teorema Karlin-Rubin, & bahwa tes skor Rao paling kuat secara lokal; hasil ini mungkin diterapkan lebih luas daripada lemma NP itu sendiri (titik nol vs titik alternatif).

Scortchi

Jawaban:

-2

NB: Ini jawaban historis pertama untuk pertanyaan OP. Dalam statistik, lemma Neyman-Pearson diperkenalkan oleh Jerzy Neyman dan Egon Pearson dalam sebuah makalah pada tahun 1933 . Juga, ini digunakan dalam praktik oleh ahli statistik sebagai teorema , bukan lemma, dan itu disebut lemma sebagian besar karena makalah 1936. IMHO, perlakuan historis tidak menjawab pertanyaan "mengapa", dan pos ini berupaya melakukan itu.

Apa lemma adalah berbeda dengan teorema atau akibat wajar dibahas di tempat lain dan di sini . Lebih tepatnya, tentang masalah definisi: Lemma, arti pertama : Teorema pembantu atau perantara dalam argumen atau bukti. Saya setuju dengan kamus Oxford tetapi akan mengubah urutan kata, dan perhatikan bahasa yang tepat: teorema perantara atau cabang. Beberapa penulis keliru percaya bahwa lemma harus menjadi perantara dalam bukti, dan ini adalah kasus bagi banyak lemma yang tidak disebutkan namanya. Namun demikian, adalah umum, setidaknya untuk lemma bernama, untuk hasil lemma menjadi implikasi yang timbul dari teorema yang sudah terbukti sehingga lemma adalah tambahan, yaitu, teorema pembantu. Dari Ensiklopedia Dunia Baru Perbedaan antara teorema dan lemmas agak sewenang-wenang, karena hasil utama satu ahli matematika adalah klaim kecil orang lain. Lemma Gauss dan lemma Zorn, misalnya, cukup menarik sehingga beberapa penulis menyajikan lemma nominal tanpa melanjutkan untuk menggunakannya dalam bukti teorema apa pun. Contoh lain dari hal ini adalah Evans lemma, yang mengikuti bukan dari bukti teorema sederhana geometri diferensial yang ... menunjukkan bahwa persamaan struktur Cartan pertama adalah persamaan dua postulat tetrad ... Postulat tetrad [ Sic , sendiri] adalah sumber Evans Lemma dari geometri diferensial. Wikipedia menyebutkan evolusi lemma dalam waktu:Dalam beberapa kasus, ketika kepentingan relatif dari teorema yang berbeda menjadi lebih jelas, apa yang sebelumnya dianggap sebagai lemma sekarang dianggap sebagai teorema, meskipun kata "lemma" tetap ada dalam namanya.

Namun, perhatikan baik-baik apakah lemma itu berdiri sendiri atau bukan juga merupakan teorema. Yaitu, teorema yang merupakan lemma kadang - kadang bisa menjadi jawaban untuk pertanyaan, "Apa yang disiratkan oleh teorema (di atas)?" Kadang-kadang lemma adalah batu loncatan yang digunakan untuk membangun teorema.

Jelas dari membaca makalah 1933: IX. Pada masalah tes hipotesis statistik yang paling efisien. Jerzy Neyman, Egon Sharpe Pearson, dan Karl Pearson , bahwa teorema yang dieksplorasi adalah teorema Bayes . Beberapa pembaca posting ini mengalami kesulitan menghubungkan teorema Bayes dengan makalah 1933 meskipun ada pengantar yang agak eksplisit dalam hal itu. Perhatikan bahwa makalah 1933 dipenuhi dengan diagram Venn , diagram Venn menggambarkan probabilitas bersyarat , yang merupakan teorema Bayes. Beberapa orang menyebut ini sebagai aturan Bayes, karena berlebihan untuk menyebut aturan itu sebagai "teorema." Misalnya, jika kita menyebut 'penambahan' sebuah teorema, sebagai lawan dari aturan, kita akan mengacaukan daripada menjelaskan.

Oleh karena itu, lemma Neyman-Pearson adalah teorema tentang pengujian hipotesis Bayesian yang paling efisien, tetapi saat ini tidak disebut demikian karena itu tidak dimulai.

Carl
sumber

Saya agak bingung dengan apa yang sebenarnya Anda katakan di sini. Jelas bukan bahwa lemma NP digunakan untuk membuktikan teorema Bayes, dalam makalah ini atau di tempat lain. Jadi pertanyaan "Kenapa 'lemma'?" sisa. NP lemma yang digunakan dalam Bagian III & IV makalah ini di derivasi dari tes serupa UMP, & mungkin adil telah disebut lemma untuk alasan ini.

Scortchi

Pernyataan Anda "Oleh karena itu, lemma Neyman-Pearson dapat disebut teorema" tidak berdasar dan tidak menjelaskan mengapa kita menyebut 'lemma Neyman-Pearson' sebagai lemma. Lebih jauh, apa hubungannya dengan teorema Bayes sepenuhnya tidak jelas dan tampaknya salah. Jawaban Anda layak untuk downvotes karena tidak jelas dan tidak masuk akal tetapi karena Anda tidak suka downvotes saya hanya akan menyatakan bahwa itu layak mereka tanpa memberikan apapun.

Sextus Empiricus

Sebuah lemma hanyalah sebuah teorema (hanya ditempatkan dalam konteks yang berbeda sebagai 'bantuan' dalam bukti yang lebih besar). Ini bukan pertanyaan dan sudah dijawab di beberapa utas di situs matematika. Kita tahu bahwa lemma dapat mulai hidup sendiri (tanpa teorema lama yang mereka bantu). Pertanyaan itu secara eksplisit menanyakan sejarah ini sehubungan dengan Neyman Pearson Lemma. Francis sudah memberikan jawaban yang bagus untuk ini dan tidak perlu ada jawaban lain. Saya mengkritik jawaban Anda karena membingungkan (dengan hal-hal tentang aturan Bayes) dan tidak membantu atau bahkan merugikan.

Sextus Empiricus

Apakah Anda memiliki sumber untuk interpretasi / penggunaan kata 'lemma' itu? Kalau tidak, saya yakin Anda salah paham apa arti 'lemma'. Untuk meminjam bahasa dari jawaban yang ditautkan dari situs pendamping, saya akan menafsirkan versi sekarang dan versi sebelumnya dari pertanyaan ini yang berarti "Apa hasil yang lebih signifikan di mana lemma Neyman-Pearsion adalah fakta 'penolong'".

Juho Kokkala

"Itu berlebihan karena tidak harus menjadi" orang lain "." Dari mana klaim ini berasal? Ini (tanpa menjadi, awalnya, bagian dari bukti untuk teorema 'lain') bukan bagaimana ahli matematika menggunakan istilah lemma. Ini sangat mirip dengan penggunaan dalam logika A -> B -> C dan pertanyaannya adalah apa yang C dalam kasus lemma B adalah Neyman Pearson lemma (jelas bukan aturan / teorema Bayes).

Sextus Empiricus

Versi klasik muncul pada tahun 1933, tetapi kesempatan paling awal yang disebut sebagai "lemma" mungkin dalam artikel Neyman dan Pearson tahun 1936 Kontribusi untuk teori pengujian hipotesis statistik (hal. 1-37 dari Memoirs Statistik Penelitian Volume I) . Lemma, dan proposisi yang digunakan untuk membuktikan, dinyatakan sebagai berikut:

Ini dikenal hari ini sebagai Neyman-Pearson Fundamental Lemma yang digeneralisasi (lih. Bab 3.6 dari Uji Hipotesis Statistik Lehman dan Romano ), dan itu berkurang ke Neyman-Pearson sehari-hari Anda ketika . Lemma itu sendiri kemudian dipelajari oleh beberapa nama besar dari era itu (misalnya PL Hsu, Dantzig, Wald, Chernoff, Scheffé) dan nama "Neyman and Pearson's lemma" dengan demikian macet. $m=1$

Berikut adalah daftar artikel / buku yang relevan jika seseorang tertarik pada sejarah lemma Neyman-Pearson:

The Neyman – Pearson Story: 1926-34 , ES Pearson, dalam Research Papers in Statistics: Festschrift untuk J. Neyman .
Pengantar Neyman dan Pearson (1933) Mengenai Masalah Tes Hipotesis Statistik Paling Efisien , EL Lehmann, dalam Terobosan dalam Statistik: Yayasan dan Teori Dasar .
Neyman-From Life , C. Reid.

Francis
sumber

Ya, tetapi, lemma Neyman-Pearson cocok dengan definisi lemma pada tahun 1933, yaitu, itu adalah lemma pada waktu itu, yang mengapa itu kemudian disebut sebagai lemma.

Carl

@Carl, apa gunanya kamu menggunakan 'tapi'. Apakah ada yang salah dengan jawaban ini?

Sextus Empiricus

@MartijnWeterings: Anda dapat mencari istilah di Google Cendekia dan membatasi rentang tanggal. Penggunaan awal dari PL Hsu tampaknya. Catatan kuliah Wald dari tahun 1940 juga mengutipnya.

Francis

@Carl, apakah Anda melewatkan bagian berikut? " NB : Pertanyaannya bukan tentang apa itu lemma dan bagaimana lemma digunakan untuk membuktikan teorema, tetapi tentang sejarah lemma Neyman-Pearson." Ini tentang sejarah . Pertanyaannya menanyakan konteks bagaimana teorema ini disebut lemma. Bukan mengapa teorema (atau lebih khusus teorema ini) dapat disebut lemma.

Sextus Empiricus

@Carl, maka jawaban ini menjelaskan dengan baik bagaimana ia memenuhi peran itu dan itu termasuk beberapa sejarah bagaimana orang telah melihat peran itu.

Sextus Empiricus