Perkiraan median yang tidak bias

Misalkan kita memiliki variabel acak didukung pada dari mana kita dapat mengambil sampel. Bagaimana kita bisa menghasilkan estimasi median ?$X$$[0,1]$$X$

Kita tentu saja dapat menghasilkan beberapa sampel dan mengambil median sampel, tetapi saya mengerti ini secara umum tidak akan memihak.

Catatan: pertanyaan ini terkait, tetapi tidak identik, dengan pertanyaan terakhir saya , di mana kasus hanya bisa dijadikan sampel.$X$

Penaksir seperti itu tidak ada.

Intuisi adalah bahwa median dapat tetap tetap sementara kita dengan bebas menggeser kepadatan probabilitas di kedua sisi itu, sehingga setiap penaksir yang nilai rata-rata adalah median untuk satu distribusi akan memiliki rata-rata yang berbeda untuk distribusi yang diubah, membuatnya bias. Eksposisi berikut memberikan sedikit ketegaran untuk intuisi ini.

Kami fokus pada distribusi memiliki median unik , sehingga menurut definisi dan untuk semua . Perbaiki ukuran sampel dan anggap bahwa perkiraan . (Ini akan cukup bahwa hanya dibatasi, tetapi biasanya seseorang tidak secara serius mempertimbangkan penduga yang menghasilkan nilai yang jelas tidak mungkin.) Kami tidak membuat asumsi tentang ; bahkan tidak harus berkelanjutan di mana pun.$F$$m$$F(m) \ge 1/2$$F(x) \lt 1/2$$x \lt m$$n \ge 1$$t: [0,1]^n \to [0,1]$$m$$t$$t$

Arti dari tidak bias (untuk ukuran sampel tetap ini) adalah itu$t$

untuk setiap sampel iid dengan . "Estimator yang tidak memihak" adalah satu dengan properti ini untuk semua seperti itu .$X_i \sim F$$t$$F$

Misalkan ada penduga yang tidak bias. Kami akan mendapatkan kontradiksi dengan menerapkannya pada rangkaian distribusi yang sangat sederhana. Pertimbangkan distribusi memiliki properti ini:$F = F_{x,y,m, \varepsilon}$

1. $0 \le x \lt y \le 1$ ;

2. $0 \lt \varepsilon \lt (y-x)/4$ ;

3. $x + \varepsilon \lt m \lt y - \varepsilon$ ;

4. $\Pr(X = x) = \Pr(X = y) = (1-\varepsilon)/2$ ;

5. $\Pr(m-\varepsilon \le X \le m+\varepsilon) = \varepsilon$ ; dan

6. $F$ seragam pada .$[m-\varepsilon, m+\varepsilon]$

Distribusi ini menempatkan probabilitas pada masing-masing dan dan sejumlah kecil probabilitas secara simetris ditempatkan di sekitar antara dan . Merek ini median yang unik dari . (Jika Anda khawatir ini bukan distribusi berkelanjutan, gabungkan dengan Gaussian yang sangat sempit dan kurangi hasilnya menjadi : argumennya tidak akan berubah.)$(1-\varepsilon)/2$$x$$y$$m$$x$$y$$m$$F$$[0,1]$

Sekarang, untuk setiap diduga median estimator , perkiraan menunjukkan mudah yang secara ketat dalam dari rata-rata dari nilai mana bervariasi pada semua kombinasi yang mungkin dari dan . Namun, kita dapat memvariasikan antara dan , perubahan setidaknya (berdasarkan kondisi 2 dan 3). Jadi ada , dan dari mana distribusi yang sesuai$t$$E[t(X_1, X_2, \ldots, X_n)]$$\varepsilon$$2^n$$t(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$x_i$$x$$y$$m$$x + \varepsilon$$y - \varepsilon$$\varepsilon$$m$$F_{x,y,m,\varepsilon}$, untuk yang harapan ini tidak sama dengan median, QED.

Menemukan estimator yang tidak bias tanpa memiliki model parametrik akan sulit! Tapi Anda bisa menggunakan bootstrap, dan menggunakannya untuk memperbaiki median empiris untuk mendapatkan penaksir yang tidak bias.

Saya percaya regresi kuantil akan memberi Anda penaksir median yang konsisten. Diberikan model . Dan Anda ingin memperkirakan karena adalah konstanta. Yang Anda butuhkan adalah yang seharusnya benar selama Anda memiliki undian independen. Namun, sejauh tidak memihak, saya tidak tahu. Median itu sulit.$Y = \alpha + u$$\text{med}(y) = \text{med}(\alpha + u) = \alpha + \text{med}(u)$$\alpha$$\text{med}(u) = 0$