Bagaimana keluarga distribusi dengan PDF sebanding dengan

Pertimbangkan keluarga distribusi dengan PDF (hingga konstanta proporsionalitas) yang diberikan oleh

$$p(x)\sim \frac{1}{(1+\alpha x^2)^{1/\alpha}}.$$ Bagaimana namanya? Jika tidak memiliki nama, bagaimana Anda menyebutnya?

Itu terlihat sangat mirip dengan keluarga $t$-distribusi dengan PDF sebanding dengan

$$p(x)\sim \frac{1}{(1+\frac{1}{\nu} x^2)^{(\nu+1)/2}}.$$

Kapan $\alpha=\nu=1$ kita punya $t$-distribusi dengan 1 df, alias distribusi Cauchy. Kapan$\alpha\to 0$ atau $\nu\to\infty$, kami mendapatkan distribusi Gaussian.

Keluarga distribusi ini muncul di Yang et al., Embedded Stochastic Neighbor Embedded Ekorimetri, NIPS 2009 , tetapi mereka tidak menggunakan nama apa pun untuk merujuknya.

Ini hanya skala tertentu $t$-distribusi - a $t$-Distribusi dengan varian yang berbeda dengan standar $t$-distribusi.

Membiarkan $\nu = \frac{2}{\alpha}-1$. Membiarkan$\sigma= \frac{\sqrt{2-\alpha}}{\alpha}$.

Lalu (jika saya melakukannya dengan benar) $Y=X/\sigma$ adalah standar $t$ dengan $\nu$ df

---

Beginilah alasan saya:

$$f_Y(y)= c\cdot \frac{1}{(1+\frac{y^2}{\nu})^{(\nu+1)/2}}$$ adalah standar $t$-massa jenis.

Kami mendapatkan skala keluarga dengan membiarkan $X/\sigma=Y$, dalam hal ini

$$f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big) = \frac{c}{\sigma}\cdot \frac{1}{(1+\frac{x^2}{\sigma^2\nu})^{(\nu+1)/2}}$$ adalah skala $t$-massa jenis.

Hanya menyamakan koefisien dalam kepadatan Anda dengan ini, dan pecahkan untuk $\nu$ dan $\sigma$.

Menyadari bahwa parameter skala akan mengambil apa pun yang tidak "benar" $\alpha x^2$ (mengingat bahwa $\nu$ sudah didefinisikan dengan menyamakan kekuatan) adalah semua yang diperlukan untuk melihatnya ditingkatkan $t$; aljabar tidak diperlukan sampai tiba saatnya untuk benar-benar menemukan parameter$t$.

---

[Catatan akhir: Seandainya tidak jelas bahwa keluarga skala memiliki bentuk $f_X(x) = \frac{1}{\sigma}f_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$, ambil pernyataan probabilitas $F_X(x) = F_Y\Big(\frac{x}{\sigma}\Big)$ (mencatat bahwa acara tersebut $X/\sigma\leq t$ identik dengan acara tersebut $Y\leq t$) dan bedakan.]