Properti dari variabel acak diskrit

Tentu saja statistik saya hanya mengajarkan saya bahwa variabel acak diskrit memiliki sejumlah opsi terbatas ... Saya tidak menyadarinya. Saya akan berpikir, seperti seperangkat bilangan bulat, itu bisa tak terbatas. Googling dan memeriksa beberapa halaman web, termasuk beberapa dari program universitas, gagal mengkonfirmasi hal ini secara spesifik; Namun sebagian besar situs mengatakan variabel acak diskrit dapat dihitung - saya kira itu berarti bernomor?

Jelas bahwa variabel acak kontinu adalah tak terbatas bahkan jika (sebagian besar?) Sering dibatasi.

Tetapi jika variabel acak diskrit memiliki kemungkinan terbatas, lalu apa yang merupakan distribusi bilangan bulat tak terbatas? Ini bukan diskrit atau kontinu? Apakah pertanyaan dapat diperdebatkan karena variabel cenderung kontinu & (menurut definisi) tidak terbatas atau terputus-putus & terbatas?

random-variable discrete-data James
sumber

Anda harus menanyakan statistik Anda tentang variabel acak geometris dan poisson

probabilityislogic

Ini online, umpan balik sangat terbatas. Anda menyarankan mereka adalah jenis variabel ketiga (dan keempat?), Bukan hanya (!)?

James

Distribusi bukanlah variabel acak - dan mengabaikan perbedaan itu telah membingungkan banyak orang. Teorema yang indah dari matematika awal abad ke-20, teorema dekomposisi Lebesgue , menunjukkan bagaimana memahami semua fungsi distribusi yang terdiri dari tiga jenis yang berbeda: "kontinu" (yang selanjutnya dibagi lagi menjadi kontinu dan kontinu tetapi bukan ac) dan "diskrit." "

Whuber

bukan kursus yang baik, saya takut

Aksakal

Untuk semua tanggapan di sini, terima kasih (meskipun beberapa di luar kepala saya akan saya akui). Saya mungkin harus merujuk pada apa yang memicu pertanyaan ini pada saat meninjaunya, saya mungkin telah menafsirkannya dengan salah: pertanyaan benar / salah yang menyatakan "Variabel acak diskrit dapat mengambil sejumlah nilai berbeda hingga" dianggap benar; dengan penjelasan bahwa pernyataan "adalah salah satu properti kunci dari variabel acak diskrit". Jika kami mensurvei peternak menanyakan berapa banyak sapi yang mereka miliki, tidak mungkin untuk mengikat jumlahnya sebelumnya, secara teoritis tidak terbatas tetapi terpisah ...?

James

Jawaban:

Jika itu yang Anda katakan, itu salah.

Sementara distribusi diskrit dapat memiliki sejumlah hasil yang mungkin, mereka tidak diharuskan untuk melakukannya; Anda dapat memiliki distribusi diskrit yang memiliki jumlah kemungkinan hasil yang tak terbatas - jumlah elemen tidak boleh lebih dari yang dapat dihitung.

Contoh umum adalah distribusi geometrik; pertimbangkan jumlah lemparan koin yang adil sampai Anda mendapatkan kepala. Tidak ada batas atas terbatas pada jumlah lemparan yang mungkin diperlukan. Mungkin diperlukan 1 undian, atau 2, atau 3, atau 100, atau nomor lainnya.

Distribusi diskrit bisa negatif (pertimbangkan perbedaan antara dua variabel acak yang terdistribusi secara geometris; bisa berupa bilangan bulat positif atau negatif).

Distribusi diskrit tidak harus melebihi bilangan bulat, seperti pada contoh saya. Itu hanya situasi umum, bukan keharusan.

Glen_b -Reinstate Monica
sumber

Jadi apa kondisi sebenarnya yang membuat distribusi "diskrit"? :)

Matius Drury

Syaratnya adalah Lebesgue memiliki ukuran nol, bukan, @matthewDrury ?. Yang pada gilirannya setara dengan penjumlahan distribusi ke satu pada paling banyak set yang dapat dihitung.

Therkel

Saya harus mengakui bahwa saya tidak tahu definisi kanonik. Saya ingin tahu tentang peran poin akumulasi dalam semua ini.

Matthew Drury

@Therkel Saya akan berpikir bahwa distribusi melalui Cantor Set tidak akan dianggap "diskrit".

Akumulasi

Setelah memeriksa en.wikipedia.org/wiki/Countable_set, saya senang menerima ini sebagai jawabannya; contoh distribusi geometris jelas, dan tampaknya mewakili konsensus tanggapan yang diberikan sejauh ini.

James

Saya sedang menulis jawaban, dengan perspektif bahwa saya hanya memiliki pemahaman yang sangat naif tentang probabilitas ukuran-teori (jadi, para ahli, tolong perbaiki saya!).

Variabel acak (bernilai nyata) adalah fungsi , di mana adalah ruang sampel. $X: S \to \mathbb{R}$ $S$

$X$ $X(S)$ $S$ $X$ $X$ $X$

$X(s)$

Anda juga dapat memiliki variabel acak yang tidak diskrit atau kontinu, seperti distribusi Cantor .

Klarinetis
sumber

Anda sebenarnya tahu cukup banyak tentang distribusi yang benar-benar kontinu, karena (hampir secara definisi) distribusi yang benar-benar kontinu adalah yang memiliki kepadatan. Ada distribusi berkelanjutan yang tidak memiliki kepadatan: contoh pola dasar adalah distribusi yang disebabkan oleh fungsi Cantor .

whuber

Jika gambar yang dapat dihitung memiliki titik akumulasi, apakah kita masih akan mengatakan diskritnya?

Matthew Drury

[0, 1]

$[0,1]$

Mengutip halaman wikipedia pada variabel kontinu dan diskrit :

Jika [variabel] dapat mengambil dua nilai real tertentu sehingga dapat juga mengambil semua nilai nyata di antara mereka (nilai genap yang secara sewenang-wenang saling berdekatan), variabel tersebut kontinu dalam interval tersebut

Oleh karena itu, variabel acak diskrit tidak harus memiliki 'jumlah opsi terbatas', tetapi harus ada kesenjangan non-infinitesimal antara nilai yang mungkin. Ini adalah kasus dengan distribusi bilangan bulat, karena 'jarak' antara dua bilangan bulat tetangga adalah 1 dan tidak boleh kurang dari ini. Oleh karena itu variabel tidak kontinu karena tidak 'melanjutkan' dalam kesenjangan ini.

Sunting: Saya tahu bahwa mungkin ada cara yang lebih baik dan / atau lebih tepat untuk menjawab ini, tetapi inilah yang membantu saya secara pribadi memahami perbedaannya.

Deemel
sumber

0

$0$

1.

$1.$

Beberapa penulis mengatakan bahwa nilai-nilai yang berdekatan secara sewenang-wenang tidak terpisah, tetapi saya harus mengakui bahwa saya merasa aneh (walaupun mungkin saya kehilangan sesuatu). Contohnya adalah distribusi perbedaan akar kuadrat dari dua varian Poisson acak (aplikasi nyata: orang kadang-kadang mengambil akar kuadrat dengan variabel yang dianggap Poisson untuk menstabilkan varians dan mungkin tertarik pada apakah perbedaan-pasangan berpusat pada nol). Nilai dapat ditutup secara sewenang-wenang bersama dengan

varian

Y = 1 / X

$Y=1/X$

X

$X$

ε > 0

$ε>0$

X

$X$

Y

$Y$

@Glen Para penulis itu kelihatannya membingungkan dua konsep "diskrit" yang berbeda: satu adalah ide ukuran-teoretik yang dibahas di sini dan yang lainnya adalah konsep topologi di mana setiap elemen himpunan diskrit dalam ruang topologi terkandung dalam himpunan terbuka. tidak memiliki elemen di dalamnya. Meskipun menyenangkan bahwa ukuran probabilitas yang didukung pada setiap subset diskrit dari garis nyata akan diskrit, kebalikannya tidak benar: ukuran diskrit tidak perlu didukung pada subruang diskrit.

A

$A$

A

$A$

whuber

Saya kira itu campuran yang ada di kepala saya. Saya seorang topologi terlatih, jadi diskrit pasti berdering dalam konteks topologi ketika saya mendengarnya. Terima kasih telah menjelaskan @whuber.

Matthew Drury