Jika saya memiliki variabel acak yang terdistribusi Poisson dengan parameter , berapakah distribusi (yaitu rata-rata integer)?
Sejumlah Poissons juga Poisson, tetapi saya tidak cukup percaya diri dalam statistik untuk menentukan apakah itu sama untuk kasus di atas.
poisson-distribution
average
Lubo Antonov
sumber
sumber
Jawaban:
Generalisasi pertanyaan menanyakan distribusi ketika distribusi diketahui dan didukung pada bilangan asli. (Dalam pertanyaan, memiliki distribusi Poisson dari parameter dan .)Y=⌊X/m⌋ X λ = λ 1 + λ 2 + ⋯ + λ n m = nX X λ=λ1+λ2+⋯+λn m=n
Distribusi mudah ditentukan oleh distribusi , yang kemungkinan menghasilkan fungsi (PGF) dapat ditentukan dalam hal PGF dari . Inilah garis besar derivasi tersebut.m Y XY mY X
Tulis untuk pgf , di mana (menurut definisi) . dibangun dari sedemikian rupa sehingga pgf, , adalahX p n = Pr ( X = n ) m Y X qp(x)=p0+p1x+⋯+pnxn+⋯ X pn=Pr(X=n) mY X q
Karena ini konvergen sepenuhnya untuk , kita dapat mengatur ulang istilah menjadi sejumlah potongan formulir|x|≤1
untuk . Seri power dari fungsi terdiri dari setiap istilah dari seri dimulai dengan : ini kadang-kadang disebut penipisan dari . Pencarian Google saat ini tidak menghasilkan banyak informasi yang berguna tentang penipisan, jadi untuk kelengkapannya, inilah derivasi formula.x t D m , t p m th p t th pt=0,1,…,m−1 xtDm,tp mth p tth p
Biarkan menjadi akar persatuan primitif ; misalnya, ambil . Kemudian ia mengikuti dari dan yangm th ω = exp ( 2 i π / m ) ω m = 1 ∑ m - 1 j = 0 ω j = 0ω mth ω=exp(2iπ/m) ωm=1 ∑m−1j=0ωj=0
Untuk melihat ini, perhatikan bahwa operator adalah linier, sehingga cukup untuk memeriksa rumus berdasarkan . Menerapkan sisi kanan untuk memberi { 1 , x , x 2 , ... , x n , ... } x nxtDm,t {1,x,x2,…,xn,…} xn
Ketika dan berbeda dengan kelipatan , setiap istilah dalam jumlah sama dengan dan kita memperoleh . Kalau tidak, istilah-istilahnya siklus melalui kekuatan dan ini berjumlah nol. Mana Operator ini mempertahankan semua kekuatan kongruen dengan modulo dan membunuh semua yang lain: justru proyeksi yang diinginkan.t n m 1 xn ωt−n x t m
Rumus untuk mengikuti dengan mudah dengan mengubah urutan penjumlahan dan mengenali salah satu penjumlahan sebagai geometris, sehingga menuliskannya dalam bentuk tertutup:q
Sebagai contoh, pgf dari distribusi Poisson dari parameter adalah . Dengan , dan pgf dari akan menjadiλ p(x)=exp(λ(x−1)) m=2 ω=−1 2Y
Salah satu penggunaan pendekatan ini adalah untuk menghitung momen dan . Nilai turunan dari pgf yang dievaluasi pada adalah momen faktorial . The saat adalah kombinasi linear dari yang pertama saat faktorial. Dengan menggunakan pengamatan ini kami menemukan, misalnya, bahwa untuk Poisson didistribusikan , rata-rata (yang merupakan momen faktorial pertama) sama dengan , rata-rata sama dengan , dan rata-rata sama denganX mY kth x=1 kth kth k X λ 2⌊(X/2)⌋ λ−12+12e−2λ 3⌊(X/3)⌋ λ−1+e−3λ/2(sin(3√λ2)3√+cos(3√λ2)) :
Berarti untuk ditunjukkan masing-masing dalam warna biru, merah, dan kuning, sebagai fungsi : asimtotik, rata-rata turun oleh dibandingkan dengan rata-rata Poisson asli.m=1,2,3 λ (m−1)/2
Formula serupa untuk varians dapat diperoleh. (Mereka mendapatkan berantakan sebagai meningkat dan begitu juga dihilangkan Satu hal yang mereka definitif menetapkan adalah bahwa ketika. ada beberapa dari adalah Poisson: tidak memiliki persamaan karakteristik mean dan varians) Berikut adalah plot dari varians sebagai fungsi untuk :m m>1 Y λ m=1,2,3
Sangat menarik bahwa untuk nilai yang lebih besar dari varians meningkat . Secara intuitif, ini disebabkan oleh dua fenomena yang saling bersaing: fungsi lantai secara efektif menghilangkan kelompok nilai yang semula berbeda; ini harus menyebabkan varians menurun. Pada saat yang sama, seperti yang telah kita lihat, cara berubah juga (karena setiap bin diwakili oleh nilai terkecilnya); ini harus menyebabkan istilah yang sama dengan kuadrat dari perbedaan sarana untuk ditambahkan kembali. Peningkatan varian untuk besar menjadi lebih besar dengan nilai lebih besar .λ λ m
Perilaku varian dengan secara mengejutkan sangat kompleks. Mari kita akhiri dengan simulasi cepat (dalam ) yang menunjukkan apa yang dapat dilakukannya. Plot menunjukkan perbedaan antara varian dan varian untuk Poisson didistribusikan dengan berbagai nilai mulai dari hingga . Dalam semua kasus, plot tampaknya telah mencapai nilai asimptotiknya di sebelah kanan.mY m m⌊X/m⌋ X X λ 1 5000
R
sumber
sapply()
simulasi yang sangat bagus . Terima kasih.Seperti yang dikatakan Michael Chernick, jika variabel acak individual independen maka jumlahnya adalah Poisson dengan parameter (rata-rata dan varians) yang dapat Anda sebut λ .∑ni=1λi λ
Membagi dengan mengurangi rata-rata menjadi λ / n dan varians λ / n 2 sehingga varians akan lebih kecil dari distribusi Poisson yang setara. Seperti yang dikatakan Michael, tidak semua nilai akan berupa bilangan bulat.n λ/n λ/n2
Menggunakan fungsi lantai sedikit mengurangi rata-rata, sekitar , dan sedikit mempengaruhi varians meskipun dengan cara yang lebih rumit. Meskipun Anda memiliki nilai integer, varians masih akan jauh lebih sedikit daripada rata-rata dan karenanya Anda akan memiliki distribusi yang lebih sempit daripada Poisson.12−12n
sumber
Fungsi massa probabilitas dari rata-rata variabel acak Poisson independen dapat dituliskan secara eksplisit, meskipun jawabannya mungkin tidak banyak membantu Anda. Seperti Michael Chernick dicatat dalam komentar pada jawaban sendiri, jumlahnya Σ i X i dari independen variabel acak Poisson X i dengan parameter masing- λ i adalah variabel acak Poisson dengan parameter λ = Σ i λ i . Oleh karena itu, P { n Σ i = 1 X i = k } = expn ∑iXi Xi λi λ=∑iλi demikian,
Y =n-1Σ n i = 1 Xiadalah variabel taking acak pada nilaik/ndengan probabilitasexp(-λ)λk
sumber
Kamu tidak akan menjadi Poisson. Perhatikan bahwa variabel acak Poisson mengambil nilai integer non negatif. Setelah Anda membaginya dengan konstanta, Anda membuat variabel acak yang dapat memiliki nilai non-integer. Itu masih akan memiliki bentuk Poisson. Hanya saja probabilitas diskrit dapat terjadi pada titik-titik non-integer.
sumber