Dapatkah tes Mantel diperluas ke matriks asimetris?

Uji Mantel biasanya diterapkan pada matriks jarak / perbedaan simetris. Sejauh yang saya mengerti, asumsi tes adalah bahwa ukuran yang digunakan untuk mendefinisikan perbedaan harus setidaknya semi-metrik (memenuhi persyaratan standar metrik tetapi bukan ketimpangan segitiga).

Dapatkah asumsi simetri menjadi rileks (memberikan pra-metrik)? Apakah mungkin untuk menerapkan tes permutasi dalam kasus ini, menggunakan matriks penuh?

Tidak perlu diperpanjang. Uji Mantel asli, seperti yang disajikan dalam kertas Mantel 1967 , memungkinkan untuk matriks asimetris. Ingat bahwa tes ini membandingkan dua jarak matriks dan .X $n\times n$$X$$Y$

Kami mungkin pada titik ini mengantisipasi modifikasi statistik kami yang akan menyederhanakan prosedur statistik untuk dikembangkan di bawah ini. Modifikasi adalah untuk menghapus pembatasan $i\lt j$ , dan untuk menggantinya hanya dengan pembatasan $i\ne j$ . Di mana $X_{ij} = X_{ji}$ dan $Y_{ij} = Y_{ji}$ , efek modifikasi hanya untuk menggandakan nilai penjumlahan. Namun, prosedur yang dikembangkan sesuai bahkan ketika hubungan jarak tidak simetris, yaitu, ketika dimungkinkan bahwa $X_{ij} \ne X_{ji}$ dan $Y_{ij} \ne Y_{ji}$ ; kasus tertentu yang dibahas adalah $X_{ij} = -X_{ji}, Y_{ij} = -Y_{ji}$ ...

(di bagian 4; penekanan ditambahkan).

Simetri tampaknya merupakan kondisi buatan dalam banyak perangkat lunak, seperti ade4paket untuk R, yang menggunakan objek dari kelas "dist" untuk menyimpan dan memanipulasi matriks jarak. Fungsi manipulasi menganggap jaraknya simetris. Untuk alasan ini, Anda tidak dapat menerapkan mantel.rtestprosedurnya ke matriks asimetris - tetapi itu murni batasan perangkat lunak, bukan properti tes itu sendiri.

Tes itu sendiri tampaknya tidak memerlukan setiap sifat dari matriks. Jelas (berdasarkan referensi eksplisit untuk referensi antisimetri pada akhir bagian sebelumnya) bahkan tidak perlu bahwa entri dalam atau adalah positif. Ini hanya merupakan tes permutasi yang menggunakan beberapa ukuran korelasi dari dua matriks (dianggap sebagai vektor dengan elemen) sebagai statistik uji.Y n $X$$Y$$n^2$

Pada prinsipnya kita bisa daftarkemungkinan permutasi dari data kami, hitung [statistik uji] untuk setiap permutasi, dan dapatkan distribusi nol yang dengannya nilai observasi dapat dinilai.Z Z $n!$$Z$$Z$$Z$

[ ibid. ]

Bahkan, Mantel secara eksplisit menunjukkan bahwa matriks tidak harus berupa matriks jarak dan ia menekankan pentingnya kemungkinan ini :

Rumus kasus umum akan sesuai juga untuk kasus di mana 's dan ' s tidak mengikuti aritmatika dan keteraturan geometrik yang dikenakan dalam masalah pengelompokan; mis. , . Ini adalah penerapan prosedur umum untuk sewenang-wenang dan yang mendasari ekstensi untuk berbagai masalah yang lebih luas ...$X_{ij}$$Y_{ij}$$X_{ik} \le X_{ij} + X_{jk}$$X_{ij}$$Y_{ij}$

(Contoh menyatakan ketidaksamaan segitiga.)

Sebagai contoh, ia menawarkan "studi hubungan antarpribadi" di mana "kita memiliki individu dan 2 ukuran yang berbeda, simetris atau asimetris , yang menghubungkan setiap individu dengan tersisa " (penekanan ditambahkan).$n$$n-1$

Dalam sebuah lampiran, Mantel menurunkan "varians permutasi , tidak membuat asumsi yang lebih kuat daripada bahwa elemen diagonal dari matriks adalah konstanta, berpotensi bukan nol.$Z=\sum\sum X_{ij}Y_{ij}$

Kesimpulannya, sejak awal setiap aksioma metrik telah secara eksplisit dianggap dan ditolak sebagai tidak penting untuk pengujian:

1. "Jarak" mungkin negatif.

2. "Jarak" antara objek dan dirinya sendiri mungkin bukan nol.

3. Ketidaksetaraan segitiga tidak perlu berlaku.

4. "Jarak" tidak perlu simetris.

Saya akan mengakhiri dengan menyatakan bahwa statistik yang diusulkan Mantel, , dapat bekerja buruk untuk jarak non-simetris. Tantangannya adalah untuk menemukan statistik uji yang secara efektif membedakan dua matriks seperti: penggunaan yang di tes permutasi bukan jumlah produk.$Z=\sum_{i,j} X_{ij}Y_{ij}$

Ini adalah contoh dari tes di R. Diberikan dua matriks jarak xdan y, ia mengembalikan sampel dari distribusi permutasi (sebagai vektor nilai statistik uji). Tidak memerlukan itu xatau ymemiliki sifat tertentu sama sekali. Mereka hanya perlu ukuran matriks persegi yang sama.

mantel <- function(x, y, n.iter=999, stat=function(a,b) sum(a*b)) {
  permute <- function(z) {
    i <- sample.int(nrow(z), nrow(z))
    return (z[i, i])
  }
  sapply(1:n.iter, function(i) stat(x, permute(y)))
}